数值分析第四章矩阵特征值与特征向量的计算PPT学习教案.pptx

【数值分析】第四章主要探讨了矩阵特征值与特征向量的计算，特别是针对大型稀疏矩阵的方法。这里重点介绍了两种方法：幂法和反幂法。 **幂法**是用于计算矩阵中按模（模指代绝对值）最大的特征值及其对应的特征向量。这种方法在处理大型稀疏矩阵时特别有效，因为稀疏矩阵的特点是大部分元素为零，这使得计算复杂度相对较低。幂法的基本思想是，给定一个初始非零向量 \( x(0) \)，通过矩阵 \( A \) 重复自乘形成向量序列。在一定的条件下，当迭代次数足够大时，这个序列将趋近于最大特征值 \( \lambda_1 \) 对应的特征向量 \( u_1 \)。通常，\( \lambda_1 \) 称为主特征值，且它一定是实数。幂法的收敛性依赖于特征值之间的相对大小，比值 \( \frac{\lambda_1}{\lambda_2} \) 越接近1，收敛速度越慢；而越接近0，收敛越快。 **反幂法**则用于计算模最小的特征值或对应于给定近似特征值的特征向量。尽管描述中没有详细展开，但其原理与幂法类似，只是针对不同的计算目标。 在幂法中，如果初始向量 \( x(0) \) 选择得当，使得 \( x(k+1) \) 在 \( \lambda_1 \) 特征向量方向上的分量不为零，那么可以逼近 \( \lambda_1 \) 的特征向量。实际计算时，由于舍入误差，即使初始向量选取不当，经过几次迭代也会产生满足条件的向量。为了避免在计算过程中出现上溢（当 \( |\lambda_1| > 1 \)）或下溢（当 \( |\lambda_1| < 1 \)），每次迭代后的向量需要进行归一化处理。 **归一化**是指将向量长度标准化为1的过程，这有助于维持计算的稳定性和准确性。归一化向量的计算公式是 \( x = \frac{x}{\|x\|} \)，其中 \( \|x\| \) 是向量 \( x \) 的范数，通常是最大绝对值分量。 在实际应用幂法时，通常选取 \( x(0) = y(0) \neq 0 \)，构造两个向量序列 \( \{x(k)\} \) 和 \( \{y(k)\} \)，并利用 \( x(k) \) 和 \( y(k) \) 的关系来逼近特征值和特征向量。对于具有重特征值的情况，幂法同样适用，只要矩阵有足够的线性无关特征向量。 给出了一个使用幂法计算矩阵最大特征值和特征向量的例子，通过不断迭代直到达到预设的误差阈值（如 \( 10^{-3} \)）。 总结来说，这部分内容涵盖了数值分析中矩阵特征值和特征向量计算的关键方法，特别是针对大型稀疏矩阵的幂法和归一化策略，以及它们在理论和实践中的应用。