【3.1.5 空间向量运算的坐标表示】主要讲解了空间向量在直角坐标系中的表达和运算，这是高等数学和线性代数中的基础概念，对于理解和解决三维空间中的几何问题至关重要。以下是相关知识点的详细说明：
1. **空间向量与有序数组的对应关系**：
- 在空间中，任何向量可以与一个有序实数组形成一对一的对应。给定空间的基底{a, b, c}，任何向量p都可以表示为p = xa + yb + zc，其中(x, y, z)是唯一确定的实数组，称为向量p的坐标。
2. **投影与投影定理**：
- 投影是将一个向量投射到另一个向量或直线上的过程，其在坐标表示中具有明确的计算公式。
- 投影定理指出，向量p在向量a上的投影等于两向量的点积除以a的模长的值。
3. **方向余弦的坐标表示**：
- 方向余弦是描述向量与坐标轴正方向之间夹角余弦的值，对于单位向量a，其在x、y、z轴上的方向余弦分别是cosa, cosb, cosc，可以通过坐标来计算。
4. **空间直角坐标系**：
- 空间直角坐标系由三个互相垂直的单位向量{i, j, k}构成，它们分别代表x、y、z轴的正方向。
- 坐标系的建立通常选择一个点O作为原点，向量{i, j, k}称为坐标向量。
- 每个点P(x, y, z)的坐标是其与坐标轴正方向的投影长度，而向量PQ的坐标是终点Q相对于起点P的坐标差。
5. **向量的坐标运算**：
- 向量加法、减法和数乘在坐标表示下可以简化为坐标数组的运算，例如，向量p = (x1, y1, z1)和q = (x2, y2, z2)相加得到向量r = p + q = (x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2)。
- 向量数乘可以表示为λp = (λx, λy, λz)，其中λ是标量。
6. **坐标平面与坐标轴**：
- xy平面、yz平面和zx平面是通过两个坐标轴形成的平面，它们将空间分为八个部分，即八卦区域。
7. **右手直角坐标系**：
- 在描述空间坐标系时，通常采用右手规则来确定轴的正方向，即右手大拇指、食指和中指分别对应x、y、z轴的正方向。
掌握这些知识点有助于理解空间向量的性质和运算，以及在几何问题中的应用，如平面和直线的方程、旋转和平移等。在工程、物理和计算机图形学等领域，空间向量的坐标表示和运算是基础工具。通过启发式教学法和电子教案，学生可以更直观地理解这些抽象概念。
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