### 电子科技大学《随机信号分析》全套知识点梳理
#### 一、随机信号分析概述
**随机信号分析**是一门研究不确定现象的学科，主要应用于通信工程等专业领域。本课程通过对随机现象及其数学模型——随机过程的研究，为解决实际工程问题提供理论依据。
#### 二、概率论基础
概率论是研究随机现象规律性的数学分支，为随机信号分析提供了重要的数学工具。概率论的基础概念包括概率、随机变量、样本空间等。
##### 2.1 概率的定义与分类
**概率**是度量随机事件发生的可能性大小的一个数值。根据概率的定义方式，可以将其分为古典概率、几何概率和统计概率等几种类型。
- **古典概率**：适用于样本空间有限且每个样本点出现的可能性相等的情况。
- **几何概率**：用于处理样本空间无限的情况，例如连续随机变量的概率分布。
- **统计概率**：基于大量试验的结果来估计概率。
##### 2.2 概率的公理化定义
**公理化定义**是现代概率论的基础，主要包括以下几点：
- **公理1**：任何随机试验都有基本的可能结果、样本空间和事件、事件域，以及表示试验中事件发生可能性的概率。
- **公理2**：任何事件\( A \)的概率\( P(A) \)是非负的实数，即\( P(A) \geq 0 \)。
- **公理3**：随机试验中的样本空间\( \Omega \)是一个必然出现的事件，其概率数值为1，即\( P(\Omega) = 1 \)。
- **公理4**：事件概率对于事件具有可加性。若事件\( A \)与\( B \)互相排斥，则\( P(A \cup B) = P(A) + P(B) \)。
##### 2.3 随机试验与样本空间
**随机试验**是在一定条件下重复进行的观测过程，具有三个特征：
1. 可以在相同条件下重复进行。
2. 在试验前明确了所有可能的结果。
3. 试验结果不能预先确定。
**样本空间**是随机试验所有可能结果的集合，用符号\( \Omega \)表示。样本空间中的每个元素称为样本点，用符号\( \xi \)表示。不同的随机试验具有不同的样本点和样本空间。
##### 2.4 事件与概率
**事件**是由样本空间中的样本点组成的集合。事件的类型包括必然事件、不可能事件、基本事件和复合事件。
- **必然事件**：在随机试验中必然发生的事件。
- **不可能事件**：在随机试验中必然不发生的事件。
- **基本事件**：随机试验中最简单的事件，即试验中必发生一个且仅发生一个的结果。
- **复合事件**：由若干个基本事件组合而成的事件。
**概率**是对随机事件发生的可能性大小的度量。概率的计算基于概率公理，并通过大量试验的统计结果来估计。
##### 2.5 统计规律性
虽然单次随机试验的结果是不确定的，但在大量重复试验中，结果呈现出一定的规律性。这种规律被称为**统计规律性**。例如，对于硬币投掷实验，尽管每次投掷结果可能是随机的，但随着投掷次数的增加，正面朝上的比例会趋于稳定，接近于0.5。
#### 三、随机变量与统计平均
**随机变量**是用来描述随机试验结果的数学工具，它可以是离散的也可以是连续的。随机变量的数学期望或统计平均反映了随机变量长期行为的平均水平。
##### 3.1 随机变量的概念
随机变量\( X \)是对随机试验结果的一种数值化表示，它是定义在样本空间上的实值函数。
- **离散随机变量**：其取值为有限个或可列无穷多个。
- **连续随机变量**：其取值范围为连续区间。
##### 3.2 统计平均
**统计平均**或数学期望是对随机变量长期行为的描述，它是随机变量所有可能取值按其概率加权的总和。
#### 四、实例分析
以**硬币投掷实验**为例，分析随机试验的基本概念和性质。
**实验1：**一次投掷硬币
- **样本空间**：\( \Omega = \{H, T\} \)（其中\( H \)表示正面出现，\( T \)表示反面出现）。
- **事件域**：\( F = \{\emptyset, \{H\}, \{T\}, \{H, T\}\} \)。
- **概率**：\( P(H) = P(T) = 0.5 \)。
**实验2：**连续两次投掷硬币
- **样本空间**：\( \Omega = \{(H, H), (H, T), (T, H), (T, T)\} \)。
- **事件域**：包括空集、单个样本点的集合、两个样本点的集合、四个样本点的集合等。
- **概率**：对于各样本点，由于硬币均匀，所以每个样本点出现的概率均为\( 0.25 \)。
通过这些基本概念的学习，我们可以更好地理解随机信号分析的核心思想和技术方法，为进一步深入学习和应用打下坚实的基础。
