### 有理数及其运算知识点解析
#### 一、有理数的概念
- **定义**：有理数是指可以表示为两个整数之比的数，形式为\(a/b\)，其中\(a\)和\(b\)是整数，且\(b \neq 0\)。包括所有整数、分数以及有限小数和无限循环小数。
#### 二、有理数的基本性质
1. **加法结合律**：对于任意三个有理数\(a\)、\(b\)、\(c\)，都有\((a + b) + c = a + (b + c)\)。
2. **加法交换律**：对于任意两个有理数\(a\)、\(b\)，都有\(a + b = b + a\)。
3. **乘法结合律**：对于任意三个有理数\(a\)、\(b\)、\(c\)，都有\((a \times b) \times c = a \times (b \times c)\)。
4. **乘法交换律**：对于任意两个有理数\(a\)、\(b\)，都有\(a \times b = b \times a\)。
5. **分配律**：对于任意三个有理数\(a\)、\(b\)、\(c\)，都有\(a \times (b + c) = a \times b + a \times c\)。
#### 三、相反数与绝对值
1. **相反数**：每个有理数都有唯一的相反数。如果一个有理数为\(a\)，那么它的相反数为\(-a\)，并且满足\(a + (-a) = 0\)。
2. **绝对值**：有理数的绝对值是非负数，表示数的大小而忽略其符号。如果一个有理数为\(a\)，那么它的绝对值为\(|a|\)，且满足\(|a| = a\)（当\(a \geq 0\)时）；\(|a| = -a\)（当\(a < 0\)时）。
#### 四、数轴上的有理数
- **位置关系**：数轴上右边的点对应的有理数总是大于左边的点对应的有理数。
- **距离计算**：两个有理数在数轴上的距离等于它们差的绝对值。
#### 五、有理数的运算
1. **加减法**：同号相加取相同符号，并将绝对值相加；异号相加取绝对值较大数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。减法按“减去一个数等于加上这个数的相反数”进行。
2. **乘除法**：同号得正，异号得负。乘法按“分子乘分子，分母乘分母”的原则进行；除法按“乘以分母的倒数”的原则进行。
#### 六、典型例题解析
1. **题目**：“若上升记作+5，则－表示。”
**解析**：这里的“－”表示下降，通常在数学术语中，“＋”代表上升或增加，“－”代表下降或减少。
2. **题目**：“在数轴上大于－4.12的负整数有。”
**解析**：大于－4.12的负整数包括：－4、－3、－2、－1。这些数都位于数轴上－4.12的右侧，但仍然是负数。
3. **题目**：“在数轴上，点M表示的数是－2，将它先向右移动4.5个单位，再向左移5个单位到达点N，则点N表示的数是。”
**解析**：首先向右移动4.5个单位，即\(-2 + 4.5 = 2.5\)；然后向左移动5个单位，即\(2.5 - 5 = -2.5\)。因此，点N表示的数为－2.5。
4. **题目**：“到原点的距离等于3的数是。”
**解析**：到原点距离等于3的数有两个，分别是3和-3。
5. **题目**：“右图是正方体的侧面展开图,请你在其余三个空格内填入适当的数，使折成正方体后相对的面上的两个数互为相反数。”
**解析**：这个问题涉及到了立体几何中的对称性。对于正方体的侧面展开图而言，确保每个对面上的数字互为相反数的关键在于理解正方体的结构。例如，如果其中一个面的数字为1，则与其相对的面应填入-1。
6. **题目**：“冬天的某一天，北京的温度是－，广州的温度是+，则广州的温度比北京的温度高度，用算式表示为。”
**解析**：这里缺失了具体的温度数值，但根据题目描述，假设北京的温度为\(-x\)度，广州的温度为\(y\)度，则广州比北京高的温度差为\(y - (-x) = y + x\)。
7. **题目**：“－8－（－7.901）=。”
**解析**：计算结果为\(-8 - (-7.901) = -8 + 7.901 = -0.099\)。
8. **题目**：“数轴上表示－2和－101的两个点分别为A、B,则A、B两点间的距离等于。”
**解析**：A点和B点的距离为\(|-2 - (-101)| = |99| = 99\)。
9. **题目**：“绝对值等于3的数有。”
**解析**：绝对值等于3的数有两个：3和-3。
10. **题目**：“计算|(－8）+(+3）－（－2)|=”
**解析**：先进行括号内的计算，\((-8) + (+3) - (-2) = -8 + 3 + 2 = -3\)，然后取绝对值得到\(|-3| = 3\)。
11. **题目**：“下列说法中，正确的是”
**选项**：
- (A) 0是最小的有理数
- (B) 0是最小整数
- (C) 0的倒数和相反数都是0
- (D) 0是最小的非负数
**解析**：正确的选项是(D)。0是最小的非负数，因为它既不是正数也不是负数，而是介于两者之间的一个特殊值。
12. **题目**：“下列说法中，错误的是”
**选项**：
- (A) 最小的正整数是1
- (B) －1是最大的负整数
- (C) 在一个数的前面加上负号，就变成了这个数的相反数
- (D) 在一个数的前面加上负号，就变成了负数
**解析**：正确的选项是(D)。如果给定的数已经是负数，那么在其前面加上负号后会变成正数，而不是负数。
13. **题目**：“下列各组数中，互为相反数的是”
**选项**：
- (A) 0．4与－0。41
- (B) 3。8与－2.9
- (C) －(－8）与－8
- (D) －(+3）与+（－3）
**解析**：正确答案是(C)。相反数意味着两数相加等于0。选项(C)中的两个数相加等于0，因此互为相反数。
14. **题目**：“有理数的绝对值一定是”
**选项**：
- (A) 正数
- (B) 整数
- (C) 正数或零
- (D) 非正数
**解析**：正确答案是(C)。绝对值是非负数，即可以是正数也可以是零。
15. **题目**：“下列数中，属于正数的是”
**选项**：
- (A) +（－2）
- (B) －3的相反数
- (C) －(－a)
- (D) 3的倒数的相反数
**解析**：正确答案是(B)。－3的相反数是3，因此是一个正数。
16. **题目**：“下列计算不正确的是”
**选项**：
- (A) －（－4。9)=+4.9
- (B) －(+4.9)=－4。9
- (C) －［+（－4。9)］=+4。9
- (D) +[－（+4.9）]=+4。9
**解析**：正确答案是(D)。选项(D)中\(+[－（+4.9）]\)实际上等于\(+[-4.9]\)，即为\(-4.9\)，而不是+4.9。
17. **题目**：“计算:（）”
**解析**：此题未给出具体计算表达式，无法直接解析。
18. **题目**：“下列计算正确的是”
**选项**：
- (A) －5－3（－3)=－8
- (B) +5－(－4）=1
- (C) －5－｜－5｜=0
- (D) +5－(+6）=－1
**解析**：正确答案是(D)。选项(D)中的计算结果正确，即\(+5 - (+6) = -1\)。
19. **题目**：“把下列各数填入表示它所在的集合里.”
**解析**：这个问题要求将给定的数分类，具体分类方式取决于题目要求的集合类型，如正数集、负数集等。
20. **题目**：“右图是一个正方体盒子的展开图，请把－10,8，10,－3, －8，3这六个数字分别填入六个小正方体,使得折成正方体后相对的面上的数字互为相反数。”
**解析**：这类问题可以通过尝试不同的组合来解决。关键是要确保每一对相对的面的数字互为相反数。
21. **题目**：“将下列数字由小到大依次用线段连结起来，你最后得到了什么?”
**解析**：此题未给出具体的数字列表，因此无法直接解析。
22. **题目**：“已知A地海拔,B地海拔，C地海拔－，（1)若把A地的高度记为，则B地和C地的高度各记为多少米?（2）若把B地的高度记为，则A地和C地的高度各记为多少米？”
**解析**：此类题目需要根据已知条件计算各地的海拔高度。例如，如果A地的海拔为h米，则B地和C地的海拔可以据此计算得出。
23. **题目**：“用简便方法计算”
**解析**：此题提供了多个计算表达式，需要利用有理数的运算规则简化计算过程，找到最简解。
24. **题目**：“在小芳的生日晚会上，有10个同学藏在10个盾牌后面，男同学盾牌前面的数字为负数，女同学盾牌前面的数字为正数，这10个盾牌如图所示。请你计算各盾牌的结果，确定有多少个男同学,多少个女同学？”
**解析**：此题需要根据盾牌前数字的正负判断男女同学的数量。
25. **题目**：“某粮站在一个星期内共收五次麦子,每次收购数分别是6吨，3。5吨，4吨，5吨和2.5吨。同时在这一周内该粮站又分别运往广州15吨，上海10吨,北京12吨。请问该粮站在一周内是存粮还是从仓库中运出粮食?”
**解析**：通过计算本周收入和支出的总量，可以判断粮站是一周内存粮还是从仓库中运出粮食。
26. **题目**：“一水利勘察队在江上勘察，第一天沿江向上游走千米，第二天又向上游走千米，第三天向下游走千米,第四天向下游走了千米.这时勘察队在出发地的上游还是下游？距离出发点多少千米?”
**解析**：此题可以通过累加每天行走的距离来计算最终位置，从而判断是在上游还是下游，并计算出具体距离。
