这篇文档是湖南省衡阳市田家炳实验中学2021届高三12月月考的数学试题，包含选择题、多项选择题和填空题，旨在测试学生的数学知识掌握程度。试题涵盖复数、概率论、统计分析、函数、几何、数列、圆锥曲线等多个数学领域。
1. 复数部分：题目中涉及到复数z=5+3i/(1-i)，要求判断其虚部、在复平面上的位置以及共轭复数。复数的运算包括除法和共轭复数的概念，需要考生熟悉复数的基本性质。
2. 集合论与概率统计：一道关于独立性检验的问题，涉及卡方检验（χ²检验），根据给定的观测值k判断两个变量是否相关的置信度，这里要求理解统计假设检验和误差概率。
3. 踢毽子运动的调查：这是一道基于独立性检验的问题，根据K2统计量的观测值，判断爱好踢毽子运动与性别之间的关联性。这里需要理解独立事件和假设检验的概念。
4. 《易经》的概率问题：从八卦图中抽取两卦，要求有三根阳线和三根阴线的概率，涉及组合计数和概率计算。
5. 函数单调性与图像：题目中给出了一个函数f(x)=ax-a-x，并要求判断其单调性，然后根据单调性推断函数y=loga(x-1)的图像。这考察了指数函数和对数函数的性质。
6. 排列组合：排列问题，要求计算在特定条件下的排列数，即甲与乙相邻且甲与丁不相邻的站法种数。
7. 微积分与导数：给定函数f(x)及其导数f'(x)，利用函数单调性来比较a、b、c的大小。这需要理解函数的单调性和导数的几何意义。
8. 多项选择题：涉及回归直线的方程、二项分布的期望与方差、正态分布的性质以及独立性检验的错误概率。
9. 图像变换：由三角函数y=sin2x-sqrt(3)sin(π-x)sin(x+3π/2)到g(x)的图像变换，包括图像对称性、值域和图像平移。
10. 直线、圆和点的距离：直线恒过定点、圆上点到直线距离的特性以及图像变换。
11. 命题与几何：直线恒过定点、圆与圆的公切线数目、曲线的性质。
12. 空间几何：四棱锥P-ABCD的性质，包括面面垂直、外接球表面积的计算以及体积的求解。
13. 向量问题：向量的夹角、模长以及向量运算的结果。
14. 二项式定理：展开式的系数比和特定项的系数计算。
这些题目综合了高中数学的核心知识点，包括复数、集合、概率统计、函数、几何、向量等，对于高三学生来说，是检验他们对这些概念理解和应用能力的重要测试。
