UCB CS294 马尔科夫链蒙特卡罗基础与应用讲义.pdf

### UCB CS294 马尔科夫链蒙特卡罗基础与应用讲义 #### 1. 马尔科夫链蒙特卡罗(MCMC)概述 **马尔科夫链蒙特卡罗**(Markov Chain Monte Carlo, MCMC)是一种强大的工具，用于解决在统计物理学、机器学习、组合优化等多个领域中出现的概率分布采样问题。该方法的核心思想是通过构造一个特定类型的随机过程——马尔科夫链，来逼近目标概率分布。这种随机过程具有这样的特性：随着时间的推移，它会逐渐达到一个稳定的概率分布，即目标分布。 #### 2. 基础概念 ##### 2.1 集合Ω与权函数w - **集合Ω**：表示一个非常大但有限的状态空间，每个状态x∈Ω都有一个对应的权重w(x)。 - **权函数w**：是一个映射w:Ω→ℝ⁺，它为状态空间Ω中的每一个状态赋予一个正值，反映了各个状态的重要性或概率。 - **归一化因子Z**：定义为所有状态的权重之和，即Z = ∑_{x∈Ω} w(x)，它是计算概率π(x) = w(x)/Z的关键。 ##### 2.2 马尔科夫链 - **定义**：马尔科夫链是一类随机过程，其下一状态仅依赖于当前状态，而不依赖于过去的历史状态。 - **目标**：构造一个马尔科夫链，使得随着迭代次数的增加，链上的状态分布逐渐收敛到π。 - **收敛性**：对于任意初始状态x，随着迭代次数t趋于无穷大，链上状态y的概率Pr[X_t = y|X_0 = x]会趋向于π(y)。 - **采样算法**：通过模拟马尔科夫链足够多的步骤，最终状态X_t可以被视为从目标分布π中抽取的一个样本。 #### 3. 关键挑战：混合时间 **混合时间**是指马尔科夫链从任意初始状态达到稳定分布所需的时间长度。这是MCMC方法中最为关键的问题之一，因为混合时间直接影响采样算法的效率。一般来说，混合时间越短，算法效率越高。 #### 4. MCMC的应用领域 ##### 4.1 组合学 - **研究组合结构**：通过对特定类型的图形（如3-正则图）进行随机抽样，可以发现有趣的结构特性并验证相关的猜想。 - **算法测试**：生成复杂的测试案例，用于评估算法在实际应用场景下的性能表现。 - **概率构造**：通过概率方法证明某些复杂对象的存在，并找到有效的构造方法。 - **近似计数**：估计大规模组合集合的大小，例如图中的团或布尔公式的满足赋值。 ##### 4.2 体积和积分 - **体积估计**：通过构造一系列同心球来逼近凸体的体积，这种方法尤其适用于高维空间中的体积估计问题。 - **积分估计**：利用MCMC方法可以从复杂的概率分布中采样，进而估计难以直接计算的积分值。 #### 5. 抽样与近似计数技术 **递归估计**是一种常用的近似计数技术。以计算图中团的数量为例： - 将图G的团集合Ω划分为两部分：包含特定顶点v的团B以及不包含v的团B'。 - 通过MCMC方法递归地估计B的大小，从而估计整个Ω的大小。 这种技术不仅适用于组合学问题，还可以推广到其他领域，例如估计高维空间中凸体的体积。 ### 结论 UCB CS294课程深入探讨了马尔科夫链蒙特卡罗方法的基础理论及其在多个领域的应用。通过对马尔科夫链的构造和分析，MCMC方法能够有效地解决从大规模复杂组合集合中进行随机抽样和近似计数的问题。此外，该方法还在统计物理学、机器学习等领域展现出广泛的应用前景。