根据给定的文件信息，我们可以总结出以下几个关键的知识点：
### 1. 使用 Mathematica 进行平面图形绘制
#### 1.1 显函数绘图 (`Plot`)
`Plot` 命令用于绘制一个函数在一个特定区间内的图像。例如，如果我们要绘制函数 \( y = \sin(x) \) 在区间 \([-1, 1]\) 内的图像，可以使用以下 Mathematica 代码：
```mathematica
Plot[Sin[x], {x, -1, 1}]
```
这里 `Sin[x]` 是我们想要绘制的函数，`{x, -1, 1}` 定义了 x 轴的范围。
#### 1.2 参数方程绘图 (`ParametricPlot`)
对于那些不能表示为显函数的曲线，如参数方程定义的曲线，可以使用 `ParametricPlot`。假设我们有一个参数方程 \(\left\{\begin{array}{l} x(t) = f(t) \\ y(t) = g(t) \end{array}\right.\)，可以在 Mathematica 中输入如下命令：
```mathematica
ParametricPlot[{f[t], g[t]}, {t, tmin, tmax}]
```
其中 `f[t]` 和 `g[t]` 分别是参数方程中的 x 和 y 的表达式，而 `{t, tmin, tmax}` 定义了参数 t 的取值范围。
#### 1.3 极坐标方程绘图 (`PolarPlot`)
对于极坐标方程定义的图形，可以使用 `PolarPlot` 命令。如果有一个极坐标方程 \( r = f(\theta) \)，可以这样绘制：
```mathematica
PolarPlot[f[θ], {θ, θmin, θmax}]
```
这里 `f[θ]` 是极坐标方程中的 r 的表达式，而 `{θ, θmin, θmax}` 定义了角度 θ 的取值范围。
#### 1.4 隐函数绘图 (`ContourPlot`)
对于由隐函数定义的曲线，可以使用 `ContourPlot` 命令。例如，对于方程 \( x^2 + y^2 - 2xy = 0 \)，在区间 \([-10, 10]\) 内的图形可以这样绘制：
```mathematica
ContourPlot[x^2 + y^2 - 2 x y == 0, {x, -10, 10}, {y, -10, 10}]
```
这里 `{x, -10, 10}` 和 `{y, -10, 10}` 分别定义了 x 和 y 轴的取值范围。
#### 1.5 绘制点列图 (`ListPlot`)
如果需要绘制一系列离散的点，可以使用 `ListPlot` 命令。例如，对于一系列点 \((x_i, y_i)\)，可以使用如下命令绘制这些点：
```mathematica
ListPlot[{{x1, y1}, {x2, y2}, ...}]
```
### 2. 使用 Mathematica 进行三维图形绘制
#### 2.1 绘制二元函数对应的空间曲面 (`Plot3D`)
`Plot3D` 命令用于绘制二元函数 \( z = f(x, y) \) 对应的空间曲面。例如，对于函数 \( z = x^2 + y^2 \)，可以在区间 \([-5, 5]\) 内绘制其图像：
```mathematica
Plot3D[x^2 + y^2, {x, -5, 5}, {y, -5, 5}]
```
这里 `{x, -5, 5}` 和 `{y, -5, 5}` 定义了 x 和 y 轴的取值范围。
#### 2.2 绘制空间曲线与曲面参数方程 (`ParametricPlot3D`)
对于空间曲线和曲面的参数方程，可以使用 `ParametricPlot3D` 命令。假设我们有一个空间曲线的参数方程 \(\left\{\begin{array}{l} x(t) = f(t) \\ y(t) = g(t) \\ z(t) = h(t) \end{array}\right.\)，可以这样绘制：
```mathematica
ParametricPlot3D[{f[t], g[t], h[t]}, {t, tmin, tmax}]
```
这里的 `f[t]`, `g[t]`, `h[t]` 分别是参数方程中的 x, y, z 的表达式，而 `{t, tmin, tmax}` 定义了参数 t 的取值范围。
### 3. 使用 Mathematica 进行图元绘制
Mathematica 提供了一系列命令用于绘制各种图元，例如：
- `Circle` 和 `Disk`：用于绘制圆或圆弧以及填充的圆或扇形区域；
- `Rectangle`：用于绘制矩形；
- `Line`：用于绘制直线；
- `Point`：用于绘制点；
- `Text`：用于添加文字；
- `Polygon`：用于绘制多边形；
- `Arrow`：用于绘制箭头；
- `Sphere`、`Cylinder` 和 `Cone`：用于绘制球体、圆柱和圆锥。
这些图元可以通过 `Graphics` 或 `Graphics3D` 来组合成复杂的图形。
### 4. 使用 Mathematica 进行微积分基本计算
#### 4.1 求解方程与不等式
Mathematica 提供了多种方法来解决代数问题，如求解方程和不等式。
- **解方程**：使用 `Solve` 命令可以解代数方程。例如，解方程 \( x^2 + 2x - 3 = 0 \) 可以写成：
```mathematica
Solve[x^2 + 2 x - 3 == 0, x]
```
- **解方程组**：使用 `Solve` 命令还可以解多个方程组成的方程组。例如，解方程组：
```mathematica
Solve[{x^2 + y^2 == 1, x + y == 1}, {x, y}]
```
- **消除变量**：使用 `Eliminate` 命令可以从联立方程组中消除指定变量。例如，消除变量 z：
```mathematica
Eliminate[{x^2 + y^2 + z^2 == R^2, x^2 + y^2 == R - z}, z]
```
- **解不等式**：使用 `Reduce` 命令可以解不等式或方程组，并给出所有可能的解。例如，解不等式 \( x^2 > 4 \)：
```mathematica
Reduce[x^2 > 4, x]
```
- **替换变量**：使用 `/.` 运算符可以进行变量替换。例如，将 \( x \) 替换为 1，\( y \) 替换为 2：
```mathematica
expr /. {x -> 1, y -> 2}
```
#### 4.2 求极限
Mathematica 还提供了一个强大的工具来求解极限问题，主要通过 `Limit` 命令。例如，求 \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} \) 的极限：
```mathematica
Limit[Sin[x]/x, x -> 0]
```
此外，还可以使用 `Limit` 命令的一些选项来进一步控制计算过程，例如设定参数满足的条件 (`Assumptions`)、变量变化的方向 (`Direction`) 和是否以解析式计算 (`Analytic`)。
以上就是基于给定文件信息总结出来的关键知识点，涵盖了 Mathematica 在微积分领域的应用，包括平面图形和三维图形的绘制，以及微积分基本计算的操作。
