### 离散数学课后答案解析
#### 第1章习题解答概览
本章节主要涉及《离散数学》课程中的基础概念，包括命题、简单命题与复合命题的定义及其逻辑运算等内容。通过一系列例题，加深学生对这些概念的理解，并通过具体的习题解答来帮助学生掌握解题技巧。
### 1.1 命题分类
**题目描述**：
该题目要求学生判断给出的一系列句子哪些是命题，并进一步区分哪些是简单命题，哪些是复合命题。
**答案解析**：
- **（1）、（2）、（8）、（9）、（10）、（14）、（15）**：这些句子是简单的陈述句，因此都是命题，并且由于它们不包含任何逻辑联结词，所以它们属于简单命题。
- **（6）、（7）、（12）、（13）**：这些句子虽然也是陈述句，但由于包含了逻辑联结词（如“当且仅当”、“或”、“且”），所以它们属于复合命题。
- **（3）、（4）、（5）、（11）**：这些句子不是陈述句，因此不属于命题。具体来说，（3）是一个疑问句，（5）是一个感叹句，（11）是一个祈使句，而（4）虽然看似陈述句，但实际上其表述的判断结果是不确定的，因此也不能算作命题。
**知识点解析**：
1. **命题定义**：一个命题是指能够判断真假的陈述句。
2. **简单命题**：不含有任何逻辑联结词的命题被称为简单命题。
3. **复合命题**：含有至少一个逻辑联结词（如“当且仅当”、“或”、“且”等）的命题被称为复合命题。
4. **逻辑联结词**：常见的逻辑联结词包括但不限于：“当且仅当”、“或”、“且”等，这些联结词用于连接两个或多个命题形成复合命题。
5. **非命题类型**：疑问句、感叹句和祈使句都不属于命题。
### 1.2 命题的真值
**题目描述**：
本节涉及不同命题的真值判断，以及通过逻辑联结词构造的复合命题的真值计算。
**答案解析**：
- **（1）**：\( p \) 是无理数，这是一个简单命题，且为真。
- **（2）**：\( p \) 能被2整除，这是一个简单命题，且为假。
- **（6）**：\( q \rightarrow p \)，其中 \( p \) 表示“2是素数”，\( q \) 表示“三角形有三条边”。由于 \( p \) 和 \( q \) 都是真命题，因此 \( q \rightarrow p \) 为假命题。
- **（7）**：\( q \rightarrow p \)，其中 \( p \) 表示“雪是黑色的”，\( q \) 表示“太阳从东方升起”。由于 \( p \) 为假命题，\( q \) 为真命题，因此 \( q \rightarrow p \) 为假命题。
- **（8）**：关于2000年10月1日天气晴好的命题 \( p \)，其真值目前未知但确定存在。
- **（9）**：关于太阳系外星球上是否存在生物的命题 \( p \)，其真值未知但确定存在。
- **（10）**：关于小李是否在宿舍里的命题 \( p \)，其真值取决于实际情况，但确定存在。
- **（12）**：\( q \vee p \)，其中 \( p \) 表示“4是偶数”，\( q \) 表示“4是奇数”。由于 \( q \) 是假命题，因此 \( q \vee p \) 为真命题。
- **（13）**：\( q \vee p \)，其中 \( p \) 表示“4是偶数”，\( q \) 表示“4是奇数”。由于 \( q \) 是假命题，因此 \( q \vee p \) 为假命题（此处题目描述可能存在错误，应该是真命题，因为至少有一个命题为真，则或运算的结果为真）。
- **（14）**：关于李明与王华是否是同学的命题 \( p \)，其真值取决于实际情况，但确定存在。
- **（15）**：关于蓝色和黄色能否调配成绿色的命题 \( p \)，这是一个真命题。
**知识点解析**：
1. **简单命题的真值**：简单命题的真值可以直接判断。
2. **复合命题的真值**：复合命题的真值取决于其组成部分的真值以及使用的逻辑联结词。
3. **蕴含式**：\( q \rightarrow p \) 表示如果 \( q \) 为真，则 \( p \) 也必须为真。如果 \( q \) 为真而 \( p \) 为假，则 \( q \rightarrow p \) 为假；反之，如果 \( q \) 为假，则无论 \( p \) 的真值如何，\( q \rightarrow p \) 总为真。
4. **析取式**：\( q \vee p \) 表示 \( q \) 或者 \( p \) 至少有一个为真时，整个表达式为真。
### 1.3 蕴含式的真值表
**题目描述**：
本节涉及蕴含式 \( q \rightarrow p \) 及其否定形式的真值计算。
**答案解析**：
给定命题 \( p \) 和 \( q \)，其中 \( p \) 表示“\( x = 4 + 2 \)”为真，\( q \) 表示“\( y = 6 + 3 \)”为真。接下来考虑以下各种蕴含式的真值：
- **（1）** \( q \rightarrow p \)：真
- **（2）** \( \neg q \rightarrow p \)：真
- **（3）** \( q \rightarrow \neg p \)：假
- **（4）** \( \neg q \rightarrow \neg p \)：真
- **（5）** \( q \leftrightarrow p \)：真
- **（6）** \( \neg q \leftrightarrow p \)：假
- **（7）** \( q \rightarrow \neg p \)：假
- **（8）** \( \neg q \leftrightarrow \neg p \)：真
**知识点解析**：
1. **蕴含式真值**：对于蕴含式 \( q \rightarrow p \)，当 \( p \) 为真时，无论 \( q \) 的真值如何，整个表达式都为真；当 \( p \) 为假时，若 \( q \) 为真，则整个表达式为假；若 \( q \) 也为假，则整个表达式为真。
2. **等价式**：对于等价式 \( q \leftrightarrow p \)，当 \( p \) 和 \( q \) 的真值相同时，整个表达式为真；反之，如果 \( p \) 和 \( q \) 的真值不同，则整个表达式为假。
### 1.5 合取式的应用
**题目描述**：
本节讨论合取式 \( q \wedge p \) 的应用实例。
**答案解析**：
- **（1）** \( q \wedge p \)，其中 \( p \) 表示“2是偶数”，\( q \) 表示“2是素数”。由于 \( p \) 和 \( q \) 都是真命题，因此 \( q \wedge p \) 为真命题。
- **（2）** \( q \wedge p \)，其中 \( p \) 表示“小王聪明”，\( q \) 表示“小王用功”。这个命题的真值取决于实际情况。
- **（3）** \( q \wedge p \)，其中 \( p \) 表示“天气冷”，\( q \) 表示“老王来了”。这个命题的真值取决于实际情况。
- **（4）** \( q \wedge p \)，其中 \( p \) 表示“他吃饭”，\( q \) 表示“他看电视”。这个命题的真值取决于实际情况。
- **（5）** \( q \wedge p \)，其中 \( p \) 表示“天下大雨”，\( q \) 表示“他乘公共汽车上班”。这个命题的真值取决于实际情况。
- **（6）** \( q \rightarrow p \)，其中 \( p \) 和 \( q \) 的含义同（5）。这个命题的真值取决于实际情况。
- **（7）** \( q \rightarrow p \)，其中 \( p \) 和 \( q \) 的含义同（5）。这个命题的真值取决于实际情况。
- **（8）** \( \neg q \leftrightarrow \neg p \)，其中 \( p \) 表示“经一事”，\( q \) 表示“长一智”。这个命题的真值取决于实际情况。
**知识点解析**：
1. **合取式**：对于合取式 \( q \wedge p \)，当 \( p \) 和 \( q \) 都为真时，整个表达式为真；否则为假。
2. **命题的实际应用**：在实际问题中，命题的真值往往需要根据具体情境来判断。
