### 离散数学课后答案解析
#### 第1章习题解答概览
本章节主要涉及了离散数学的基本概念之一——命题逻辑的基础知识。其中包括了如何识别一个语句是否为命题，以及如何判断命题的类型（简单命题或复合命题），并且探讨了命题的真值问题。
### 命题的定义及其分类
1. **命题**：一个能够判断真假的陈述句被称为命题。非陈述句（如疑问句、祈使句、感叹句等）不是命题。
- 例句分析：
- (3) 疑问句不是命题。
- (5) 感叹句不是命题。
- (11) 祈使句不是命题。
2. **简单命题**：如果一个命题不含任何其他命题，那么该命题被称为简单命题。
- 例句分析：
- (1)、(2)、(8)、(9)、(10)、(14)、(15) 都是简单的陈述句，因此它们是简单命题。
3. **复合命题**：如果一个命题包含至少一个其他命题，并通过逻辑联结词（如“且”、“或”、“当且仅当”等）连接，则该命题被称为复合命题。
- 例句分析：
- (6) 和 (7) 通过“当且仅当”联结，形成复合命题。
- (12) 通过“或”联结，形成复合命题。
- (13) 通过“且”联结，形成复合命题。
4. **注意区分**：有时候，“和”或“与”可以用来连接主语，这样的句子仍然是简单命题，而不是复合命题。
- 例句分析：
- (14) 和 (15) 中的“与”和“和”是用来连接主语的，因此这两个命题是简单命题。
### 命题的真值
1. **真值唯一性**：每个命题都有唯一的真值，即“真”或“假”，即使当前无法判断其真值。
- 例句分析：
- (1) \(p\) 是无理数，\(p\) 为真命题。
- (2) \(p\) 能被2整除，\(p\) 为假命题。
- (8) 2000年10月1日天气晴好，虽然我们目前（1999年2月13日）无法知道这个命题的真假，但其真值是确定的。
2. **条件命题**：条件命题的形式通常为 \(q \rightarrow p\) 或 \(p \rightarrow q\)。
- 例句分析：
- (6) \(q \rightarrow p\)，其中 \(p\) 表示“是素数”，\(q\) 表示“三角形有三条边”。因为 \(p\) 和 \(q\) 都是真命题，所以 \(q \rightarrow p\) 为假命题。
- (7) \(q \rightarrow p\)，其中 \(p\) 表示“雪是黑色的”，\(q\) 表示“太阳从东方升起”。因为 \(p\) 为假命题，\(q\) 为真命题，所以 \(q \rightarrow p\) 为假命题。
3. **析取命题**：形式为 \(q \vee p\)，如果其中一个命题为真，则整个命题为真。
- 例句分析：
- (12) \(q \vee p\)，其中 \(p\) 表示“4是偶数”，\(q\) 表示“4是奇数”。因为 \(q\) 为假命题，所以 \(q \vee p\) 为真命题。
- (13) 同样地，\(q \vee p\) 为假命题。
4. **合取命题**：形式为 \(q \wedge p\)，只有当两个命题都为真时，整个命题才为真。
- 例句分析：
- (1) \(q \wedge p\)，其中 \(p\) 表示“2是偶数”，\(q\) 表示“2是素数”。此命题为真命题。
通过以上解析可以看出，离散数学中的命题逻辑是理解后续更复杂概念的基础。正确识别和理解命题的结构及真值对于学习离散数学至关重要。
