POJ1664放苹果

根据题目要求，我们主要关注的是将M个相同的苹果放入N个相同的盘子中，并求出所有不同的分配方法的数量。此问题本质上是一个经典的组合数学问题，可以用动态规划或递归的方法来解决。 ### 题目解析 #### 问题定义 我们需要计算在给定M个苹果和N个盘子的情况下，有多少种不同的方式可以将这些苹果放入盘子中，其中每个盘子可以放任意数量的苹果，包括不放苹果的情况。值得注意的是，问题中提到“5,1,1”和“1,5,1”被视为同一种分配方式，这意味着盘子之间是没有区别的。 #### 解题思路 为了解决这个问题，我们可以采用递归的方式。关键在于理解每次递归时的选择：要么选择当前的盘子来放置苹果，要么跳过当前盘子。具体来说，对于任意一组M和N，我们可以考虑两种情况： 1. **使用当前盘子**：这意味着我们从M个苹果中取出一部分（最多为M个），放入当前盘子，然后问题变为在剩下的苹果中分配到剩下的盘子中。这可以表示为`f(M - x, N)`，其中x是从0到M的所有可能值。 2. **跳过当前盘子**：这意味着我们完全不使用当前盘子，即问题变为在M个苹果中分配到剩下的N - 1个盘子中。这可以表示为`f(M, N - 1)`。 因此，递归函数可以定义为： \[ f(M, N) = \sum_{x=0}^{M} f(M-x, N-1) \] 但是，由于这里盘子之间没有区别，我们可以简化上述公式为： \[ f(M, N) = f(M-N, N) + f(M, N-1) \] 其中： - 如果N为1或者M为0，则只有一种分配方式，即所有苹果都放入同一个盘子或所有盘子都不放苹果，所以`f(M, 1) = f(0, N) = 1`。 - 如果M小于0，则没有任何有效的分配方式，所以`f(M, N) = 0`。 #### 代码实现 代码中定义了一个递归函数`f`，该函数接受两个参数M和N，并返回所有可能的分配方案的数量。此外，主函数`main`用于读取输入并调用递归函数，最终输出结果。 ### 示例分析 根据样例输入输出，当M=7且N=3时，输出为8，意味着有8种不同的方式将7个苹果分配到3个盘子中。具体的分配方式可能包括但不限于：(7,0,0)，(6,1,0)，(5,2,0)，(5,1,1)，(4,3,0)，(4,2,1)，(3,3,1)，(3,2,2)等。 ### 总结 本题通过递归的方法解决了苹果分配问题，关键在于正确理解和定义递归关系。这种类型的组合数学问题在编程竞赛中很常见，熟练掌握递归和动态规划技巧对于解决这类问题非常有帮助。