在数学建模中，时间序列分析是一个重要的工具，特别是在预测和数据分析方面。第二章“时间序列的预处理”主要探讨了如何对时间序列数据进行适当的处理以提高模型的准确性和可靠性。以下是本章涵盖的关键知识点：
1. **平稳性检验**：
- **平稳时间序列的定义**：平稳时间序列是指其统计特性，如均值和方差，不会随时间的改变而变化的一类序列。分为两种类型：**严平稳**和**宽平稳**。
- **严平稳**：序列的所有统计性质都与时间无关，包括高阶矩。
- **宽平稳**：仅要求低阶矩，通常是二阶矩（即方差）不变，即序列的主要特性保持稳定。
- **平稳性检验**包括时序图检验和自相关图检验。时序图应显示序列在常数值附近波动，无明显趋势或周期；自相关图的自相关系数应随着延迟期数增加迅速衰减至零。
2. **特征统计量**：
- **均值**：序列的平均值，反映序列的整体水平。
- **方差**：衡量序列值偏离均值的幅度。
- **自协方差**：衡量序列中任意两个不同时间点上的值之间的线性关系。
- **自相关系数**：自协方差标准化后的结果，度量的是序列自身在不同时间点上的相关性。
3. **纯随机性检验**：
- **纯随机序列的定义**：没有明显的趋势、季节性和周期性，随机性是独立的。
- **纯随机性的性质**：序列中的观测值是独立同分布的，且没有结构或模式。
- **纯随机性检验**旨在确认序列是否为纯随机，这在去除时间序列中的趋势或周期性成分时非常关键。
4. **平稳时间序列的统计性质**：
- **常数均值**：序列的均值保持不变。
- **自协方差和自相关函数**：只依赖于时间差，而不依赖于具体时间点，方便进行统计分析。
- **自相关系数的性质**：包括规范性、对称性和非负定性，这些特性帮助识别序列的相关性模式。
5. **平稳性的重要性**：
- 减少随机变量的数量，增加样本容量，简化分析，提高估计精度。
6. **实例分析**：
- 通过具体的例子（如中国纱年产量、平均每头奶牛月产奶量、北京市最高气温序列）展示了如何进行平稳性和纯随机性的实际检验。
理解这些概念和方法对于有效地进行时间序列建模和预测至关重要，特别是在预测未来的趋势、检测周期性模式以及从数据中提取有用信息时。在进行时间序列分析之前，确保数据的平稳性和纯随机性是非常基础且重要的步骤。
