数学建模学习方法-风险决策模型——彩票数学.doc
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2022-05-02
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风险决策模型
引自《彩票中的数学问题》——2002 年全国赛题 B 题问题一
问题一：综合分析各种奖项出现的可能性、奖项和奖金额的设置以及对彩民的
吸引力等因素评价各方案的合理性。
1 问题分析
评价一个方案的优劣，或是合理性如何，主要取决于彩票公司和广大彩民两方
面的利益。事实上，公司和彩民各自的销售总额的 50%是确定的，双方的利益
主要就取决于销售总额的大小，即双方的利益都与销售额成正比。因此，问题
是怎样才能有利于销售额的增加？即公司采用什么样的方案才能吸引广大彩民
积极踊跃购买彩票？具体地讲，问题涉及到一个方案的设置使彩民获奖的可能
性有多大、奖金额有多少、中奖面这样、各奖项的设置是否合理等因素，这些
都对彩民的购买彩票的吸引力产生一定的影响，所以要解决的是如何描述一个
方案对彩民的吸引力。另外，一个方案对彩民的影响程度可能与区域有关，即
与彩民所在地取的经济状况，以及收入和消费水平有关。为此，我们要考查一
个方案的合理性问题，需要综合考虑以上因素的影响，这是建立模型的关键所
在。
2 问题假设
1）彩票摇奖是公平公正的，各号码的出现是随机的，彩民购买彩票是随机的独
立事件；
2）根据我国的先行制度，假设我国居民的平均工作年限为 T=35 年。
3 符号说明
（略）
4 建模准备
1）彩民获各奖的概率
2）确定彩民的心理曲线
人们的心理变化是一个模糊的概念。在此，彩民对一个方案的各个奖项及奖金
额的看法（即对彩民的吸引力）的变化就是一个典型的模糊概念。由模糊数学
隶属度的概念和心理学知识，根据人们通常对一件事的心理变化一般遵循的规
律，不妨定义彩民的心理曲线为
（4.1）
式中， 表示奖金
表示彩民平均收入的相关因子，称为实力因子，一般为常数。
3）计算实力因子
实力因子是反应一 个地区的彩民的平均收入和消费水平的指标，确定一个地区
彩票方案应该考虑所在地区的实力因子，在我国不同地区的收入和消费水平是
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