集合，映射与运算.pdf资源-CSDN文库

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!集合，映射与运算

!集合的运算

!并运算

!交运算

!补运算

!差运算

!对称差运算（环合运算）

!恒等映射IA

!集合的有关概念

!集合

!是具有某特定性质的对象汇集成的⼀个整体，其

!中的每⼀个对象都称为该集合的元素

!表示集合的常⽤⽅法

!列举法

!描述法

!迭代法（归纳法）

!⼦集 !定义

!给定两个集合A和B，若A中的任意元素都属于

!B，则称A是B的⼦集

!A包含于B且A不等于B，则称A为B的真⼦集

!幂集

!定义：给定集合X，由X所有⼦集组成的集合称为

!X的幂集，记为P（X）

!定理：若|X|=n，则|P（X）|=2^n

!n元组

!将从论域U中选取的n个元素按照⼀定顺序排列，

!就得到⼀个n元有序组，简称为n元组（不强调排

!列的元素个数时，简称元组）

!将从论域U中选取的n个元素按照⼀定顺序排列，

!就得到⼀个n元有序组，简称为n元组（不强调排

!列的元素个数时，简称元组）

!通常把⼆元组称为有序对或序偶

!笛卡尔积（直积或叉积）

!笛卡尔积是⼀个集合，该集合的元素是n元组

!若|A|m，|B|=n，则||A×B|=mn

!映射的有关概念

!映射的定义

!任意给定两个⾮空集合A，B，若存在对应法则f

!使得对于任意x∈A均存在唯⼀的y∈B与他对应，

!则称f是集合A到B的⼀个映射，或称其为A到B的

!函数

!像和原像

!|A|=m,|B|=n,则|B*A|=n*m

!性质

!单射：⼀对⼀

!满射：任意y∈B，均存在x∈A

!双射

!既是单射⼜是满射

!若A是有限集合，通常把A到A的双射称为A的置

!换

!逆映射

!把f:A→B对应关系逆转得到⼀个集合B到集合A的

!映射

!f逆映射存在的充要条件是f是双射

!复合映射

!设f：A→B，g：B→C，对于任意x∈A，令h（

!x）=g（f（x）），则h是集合A到集合C的映

!射，h为f和g的复合映射或复合函数

!（f。g）。h=f。（g。h）

!运算的定义及性质

!运算的定义

!n元运算：f：A1×A2×A3×...×An→B

!n元封闭运算（n元代数运算）

!(模m运算)对于固定的正整数m，设f:Z→N,f(x)=

!x(modm),其中

!x(modm)表示整数x除以m的余数,根据带余除法

!知,x(modm)是使x-qm+r,0≤r<

!m成⽴的整数r显然,f是Z上的⼀元运算,称f为Z上

!的模m运算

!运算的性质

!对合性：设*是A上的⼀元代数运算,若对于任意的

!x∈A,均有*（*x）=x

!则称运算具有对合( involutive)性,或称运算满⾜

!对合律

!幂等性：设*是A上的⼆元代数运算,若对于x∈A有

!x*x=x则称x为关于*运算的幂等元；若对于任意

!的x∈A,x均为幂等元，则称x运算具有幂等性，或

!称*运算满⾜幂等律

!交换性：x*y=y*x

!结合性：（x*y）*z=x*（y*z）

!⺓元律：若存在e∈A，对于任意x∈A，有e*x=x

!零元律：若存在e∈A，对于任意x∈A，有e*x=e

!逆元性：设*为A的⼆元代数运算且有单位元素

!e，若对于x∈A，存在y∈A，使得y*x=e x*y=e则

!称y'为x的逆元素，或称x'关于*运算的逆元性

!消去性：由x*y=x*z可推出y=z（*运算具有左消

!去性）由y*x=z*x可推出y=z（右消去性）

!分配性

!吸收性：若x*（x。y）=x （x。y）*x=x，则称*

!对。运算具有吸收性

!德·摩根律：设·为⼀元代数，*。为⼆元代数，

!·（x*y）=（·x）。（·y）,·（x。y)=（·x）*（

!·y）

!集合对等

!设A，B为集合，若存在⼀个A到B的双射，则称

!集合A和B对等，记为A~B

!⽆限集合：集合存在⼀个⼦集与⾃然数集合对等

!集合的基数（集合的元素个数），若集合A，B对

!等，则称这两个集合的基数相同

!定义：给定集合X，由X所有⼦集组成的集合称为

!X的幂集，记为P（X）

!可数集合（可列集合）：能与⾃然数集合N对等

!的集合

!基数的⽐较

!不可数集合

!集合的划分和覆盖

!集合的划分

!不空不交不漏

!交叉划分

!加细化分

!集合的覆盖

!设A是集合，若A的若⼲⾮空⼦集的并集等于A，

!这些⾮空⼦集所组成的集合成为覆盖

!曹伊然 04211005 计科10班

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