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韦伯分布布谷鸟搜索算法颗粒粒径分布反演.docx
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韦伯分布布谷鸟搜索算法颗粒粒径分布反演.docx
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摘要
韦伯分布在非线性寻优问题中具有较好的寻优精度和全局搜索能力,为此提出一种基于韦伯
分布的布谷鸟搜索(WCS)算法来解决颗粒粒径分布反演的问题。使用 WCS 算法对服从
Johnson’s S
B
分布、Rosin-Rammler 分布和正态分布的单峰颗粒系和双峰颗粒系进行颗粒
粒径分布的反演,并分别与其他传统算法的处理结果进行比较。结果表明,WCS 算法的整体
效果优于人工鱼群算法和人工蜂群算法,且改进后的 4 种重尾分布 CS 算法的标准差比原
CS 算法提升 2~3 个数量级。目标函数散射光能加入噪声后,WCS 算法比其他三种重尾分
布的相对均方根误差值至少可降低 1/2。使用小角前向散射测量系统对单峰颗粒系和双峰
混合颗粒系进行实验研究,发现 WCS 算法的相对均方根误差比原 CS 算法降低约为 40%。
Abstract
Weber distribution has better optimization accuracy and global search ability in nonlinear
optimization problems. For this reason, a cuckoo search (WCS) algorithm based on
Weber distribution is proposed to solve the problem of particle size distribution inversion.
The WCS algorithm is used to invert the particle size distribution of unimodal and bimodal
particle systems which follow Johnson’s S
B
distribution, Rosin-Rammler distribution, and
normal distribution, and the results are compared with those of other traditional
algorithms. The results show that the overall performance of the WCS algorithm is better
than that of the artificial fish swarm algorithm and the artificial bee colony algorithm, and
the standard deviation of the improved four heavy-tailed distribution CS algorithm is 2-3
orders of magnitude higher than the original CS algorithm. Compared with the other three
heavy-tailed distributions, the relative root mean square error of the WCS algorithm can
be reduced by at least 1/2 when the scattering light energy of the objective function is
added into the noise. The small angle forward scattering measurement system is used to
study the unimodal particle system and bimodal mixed particle system. It is found that the
relative root mean square error of the WCS algorithm is about 40% lower than that of the
original CS algorithm.
1 引言
颗粒粒径的准确检测在环境治理和能源利用等方面有着重要的意义
[1]
。近年来,光散射法具
有测量方式简单和易操作等特点,使其在一系列颗粒粒径的测量方法中脱颖而出
[2]
,该方法只
需测量颗粒的散射光强就可以求解其粒径分布。粒径分布的求解实质上是求解第一类
Fredholm 积分问题
[3]
,这类问题因其不适定性而很难稳定求解。随着问题规模的扩大,传统
方法的求解效率和计算精度均很低,而且有很大的局限性,因此在光散射测量中通常采用非
独立模式算法来反演。
近 20 年来,常用的非独立模式算法主要有遗传算法
[4]
、人工鱼群算法(AFSA)
[5]
和人工蜂群
(ABC)算法
[6]
等。采用遗传算法进行颗粒粒径分布的反演存在反演精度低、反演误差大和反
演时间较长等问题,大部分遗传算法都需要改进后才能对目标函数进行正确反演计算
[7-9]
。人
工鱼群算法在寻优过程中存在精度较低和易陷入局部极值的问题,尤其是在高维复杂问题和
工程设计问题中性能较差,不能满足颗粒粒径反演的需要
[10]
。人工蜂群算法在全局搜索以及
局部开发的情况下主要依赖于恰当的搜索策略,当分布函数峰值增加和反演难度增大时,不
恰当的搜索策略会导致其性能变差
[11]
。因此,高性能的非独立模式算法是当下研究的重点之
一。
21 世纪初期,Yang 等
[12]
提出了一种新的元启发式优化算法,即布谷鸟搜索(CS)算法,该算法
具有搜索过程简单、涉及参数少和搜索路径优的优点,已经成功应用于多目标、工程优化以
及神经网络训练等问题的求解,而且表现出非常好的性能。此后,不断有学者对 CS 算法加以
改进使之可以适应各种问题。Tsipianitis 等
[13]
针对复杂非线性问题对 CS 算法中的外来鸟蛋
被宿主发现的概率和飞行步长进行动态调整,并引入了静态和动态惩罚函数来提高算法的效
率和鲁棒性。Inci 等
[14]
提出动态布谷鸟搜索算法(DCSA),该算法可以增强燃料电池的能量提
取能力,便于在动态温度响应下控制功率。至此,鲜有学者应用 CS 算法进行颗粒的检测与反
演,尚未充分挖掘 CS 算法在多维函数寻优中较其他非独立模式算法的抗噪性能及其优势。
本文在小角前向散射系统中将 CS 算法应用于颗粒粒径分布的反演,通过光电探测器来测量
前方某小角度内的散射信号,再采用算法来反演得到粒径分布。CS 算法通过莱维飞行来实
现随机游走,这种游走是一种以长步长与短步长相间的走位,这会导致算法的遍历性较弱。
文献[ 15-16]针对不同的研究问题引入重尾分布,结果表明引入重尾分布后算法的性能有一
定的提升。鉴于此,本文在 CS 算法中引入另一种重尾分布,即韦伯分布。韦伯分布具有广泛
的适用性,它长而肥的尾部结构有助于产生更大的步长,当一个个体陷入局部最优阶段时,较
大的步长可利于个体快速跳出局部极值,使得个体有更高的概率跳到其他更好的位置,同时
增强算法的全局搜索和局部搜索能力。因此,本文将韦伯分布布谷鸟搜索(WCS)算法与原布
谷鸟算法、人工鱼群算法和人工蜂群算法以及柯西、帕累托和米塔-列夫勒三种重尾分布的
布谷鸟搜索算法进行对比研究,并在此基础上加入随机噪声进行抗噪性能的分析。选取粒径
为 50 μm 的单峰颗粒系以及粒径为 50 μm 和 100 μm 的双峰混合颗粒系,用来进行实验测
量以验证算法的有效性。
2 韦伯分布布谷鸟搜索算法
采用 CS 算法模拟了布谷鸟在巢中的繁殖过程,同时结合一些鸟类的莱维飞行机制并通过随
机变化步长的方式进行全局搜索和局部搜索,搜索后可以得到一个质量最好的鸟窝以孵化自
己的雏鸟,即可快速准确地获得问题的最优解。Yang 等
[12]
提出的 CS 算法有三个前提条件,
条件如下。
1) 布谷鸟下的蛋会被放在一个随机的鸟巢里,并且每个布谷鸟一次只下一个蛋。
2) 最好的鸟窝将会被保留到下一代。
3) 鸟窝的个数 n 是固定的,而外来鸟蛋被发现的概率 p
a
∈(0,1)。当外来鸟蛋被发现时,巢主
鸟将会抛弃它或者直接放弃这个鸟窝,从而在新的位置处建立一个全新的鸟窝。
CS 算法中鸟巢位置的更新公式为
X(t+1)i=X(t)i+α⊕L(λ)⊗(X(t)i−Xbest),(1)Xi(t+1)=Xi(t)+α⊕L(λ)⊗(Xi(t)-Xbest),(1)
式中: X(t)iXi(t)和 X(t+1)iXi(t+1)分别表示第 t 代和第 t+1 代第 i 个鸟巢的位置;α 表示控制的
步长量;�表示点对点加法;L(λ)表示从莱维飞行中随机计算得到的数,其中 λ 表示随机步长;�
表示点对点乘法;X
best
表示当前集群中一个全局最优的鸟巢位置。
通过(1)式的位置更新后,随机数 r 会在[0,1]之间随机产生。若 r>p
a
,则对 t+1 代的鸟巢位置进
行随机改进,反之保持不变,改进过程可表示为
X(t+1)i=X(t)i+r⊕H(pa−ε)⊗(X(t)j−X(t)k),(2)Xi(t+1)=Xi(t)+r⊕H(pa-ε)⊗(Xj(t)-Xk(t)),(2)
式中: X(t)jXj(t)和 X(t)kXk(t)分别表示第 j 个和第 k 个鸟巢在第 t 代的迭代位置;ε 表示随机均
匀分布的独立随机数;H(·)表示 Heaviside 函数。
韦伯分布具有广泛的适用性,它长而肥的尾部结构有助于产生更大的步长,当一个个体陷入
局部最优阶段时,较大的步长可帮助个体跳出这个阶段,使得个体有更高的概率跳到其他更
好的位置,同时增强了算法的全局搜索和局部搜索能力。采用韦伯分布布谷鸟搜索算法来随
机搜寻鸟巢,位置更新的表达式为
X(t+1)i=X(t)i+α⊕W(θ,α,β)⊗(X(t)i−Xbest),(3)Xi(t+1)=Xi(t)+α⊕W(θ,α,β)⊗(Xi(t)-
Xbest),(3)
式中:W(θ,α,β)表示从韦伯分布中得到的随机数,其中 θ=0,α=0.3,β=4。
WCS 算法的基本处理步骤如下。
1) 随机将 n 个鸟窝的位置 X
0
=( x01x10, x02x20,…, x0nxn0)进行初始化,计算它们的最优目
标值 F
0
,并保留当前最优的鸟巢位置。
2) 在新的迭代过程中,利用(1)式计算非最优鸟窝的位置并进行更新,得到一组新的鸟窝位
置。
3) 将鸟窝位置根据(3)式进行扰动可以得到一组新的鸟窝位置,对该组鸟窝位置进行测试,保
留当前最优值。
4) 随机生成数。使随机数 r∈(0,1)服从均匀分布,将产生的随机数与 p
a
进行比较。若 r>p
a
,
则立即对该鸟窝位置进行改变,反之不变。位置改变后的鸟窝与上一组鸟窝位置进行比较,
将差的鸟窝替换掉。
5) 如果满足迭代终止条件就停止算法,否则重新返回到步骤 2)。
WCS 算法的搜索流程如图 1 所示。
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