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基于维格纳函数的非傍轴自加速阵列光束设计.docx
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基于维格纳函数的非傍轴自加速阵列光束设计.docx
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摘要
提出了一种可调谐非傍轴自加速光束产生方法,该方法可以使光束在不需要傍轴近似的情
况下沿任意凸轨迹传播。利用维格纳函数和焦散线原理,导出了傅里叶空间振幅相位和自
加速传播轨迹之间的显式表达式。通过设计傅里叶空间的初始角谱产生了具有自聚焦特性
的非傍轴自加速阵列光束,分析了光束数量、阵列半径和光束参数大小等对焦点位置和自
聚焦性能的影响。结果表明,该方法产生的自聚焦光束突破了傍轴近似限制,且光束轨迹
和调控方式更加灵活高效。
Abstract
A tunable non-paraxial accelerating beam generation method is proposed, which can
make the beam propagate along arbitrary convex trajectories without paraxial
approximation. The explicit expression between amplitude phase in Fourier space and
accelerating propagation trajectory is derived by using the Wigner function and the
caustics principle. Moreover, a non-paraxial accelerating array beam with self-focusing
properties is generated by designing the initial angular spectra of the Fourier space. The
influences of beam number, array radius, and beam parameter size on focus position and
autofocus performance are analyzed. The results show that the self-focusing array beam
generated by this method breaks through the limit of paraxial approximation, and the
beam trajectory and control method are more flexible and efficient.
1 引言
以艾里光为代表的自加速光束是一类可在空间中沿弯曲轨迹传播的新型光束,其同时还具
有自愈性和无衍射特性,在光学微粒操作
[1-3]
、激光微加工
[4]
、超分辨率成像
[5-6]
、光学
布线
[7]
、光弹
[8-9]
、光镊
[10]
、激光成丝
[11]
和自聚焦光束产生
[12-15]
等领域的应用得到
了广泛研究。
传统艾里光束只能沿抛物线轨迹传播
[16-17]
,这极大限制了自加速光束的应用。近年来,
越来越多的学者开始对非抛物线轨迹自加速光束的产生方法展开深入研究。通过寻找亥姆
霍兹方程的其他解析解的方法,研究人员相继产生了沿幂轨迹、大角度弯曲的椭圆轨迹传
播的马蒂厄光束和沿着圆轨迹传播的半贝塞尔光束等自加速光束
[18-20]
,然而继续寻找波
动方程的其他罕见解析解已变得愈发困难。Greenfield 等
[21]
将自加速光束的传播轨迹与
光学焦散线联系起来,在傍轴条件下产生了沿任意凸轨迹传播的自加速光束;在此基础
上,Hu 等
[22]
通过合理设计光谱相位,在非傍轴条件下产生沿大角度弯曲的自加速光束;
兰燕平等
[23]
采用谱相位调制的方法,提出并产生了可调谐的非傍轴自加速光束;Wen 等
[24]
通过在相空间中构造维格纳函数,产生了傍轴条件下的一维(1D)自加速光束和三维
(3D)空间加速光束。
本文通过将焦散线理论应用到傅里叶空间,利用维格纳函数和焦散线原理,建立非傍轴条
件下傅里叶空间振幅相位和传播轨迹的数学模型,产生了传统意义上沿任意凸轨迹传播的
自加速光束,并将其拓展至非傍轴情况,产生了沿大角度弯曲的圆轨迹光束。同时,通过
在傅里叶空间合理设计初始角谱,构造产生了具有自聚焦特性的可调谐非傍轴自加速阵列
光束,并分析了不同调控方法对其聚焦距离和自聚焦性能的影响。
2 基本原理
在自由空间中,光场的传播可用沿不同方向传播的平面波叠加的角谱衍射积分形式表示,
一维情况下的角谱衍射积分可表示为
ϕ(x,z)=12π∫A(kx)exp(izk2−k2x−−−−−−√)exp(ixkx)dkxϕx,z=12π∫Akxexpizk2-
kx2expixkxdkx,(1)
式中:ϕ(x,z)ϕx,z 为 X-Z 平面上的空间场分布;k=2π/λk=2π/λ 为空间波数,λλ 为波
长;kx=ksinαkx=ksinα 为空间角频率,αα 为光束方向与光轴的夹角;g(kx)gkx 和
φ(kx)φkx 分别为初始角谱的振幅和相位分布,A(kx)=g(kx)exp[iφ(kx)]Akx=gkxexpiφkx
为初始场分布的角谱,光场在空间中传播完全由该角谱决定。
根据焦散线理论,自加速光束主瓣传播轨迹形成的曲线实际上是光线簇散焦所形成的包
络,即焦散线,如图 1 所示,其中实线为预先设计的光束传播轨迹,虚线为形成焦散线曲
线的光线,光线簇与自加速光束的焦散轨迹之间满足勒让德变换。自加速光束主瓣轨迹上
的任意一点对应一条光线,轨迹以上的点对应两条光线,而轨迹下的点无光线穿过。焦散
线的这种跳跃变化是光学突变理论的一种体现。
图 1. 一维自加速光束示意图
Fig. 1. Schematic diagram of 1D accelerating beams
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假设自加速光束的焦散轨迹为 x=f(z)x=fz,则有
f'(z)=f(z)−x0z=tanαf'z=fz-x0z=tanα,(2)x0=f(z)−zf'(z)x0=fz-zf'z,(3)
kx0=ksinα=kf'(z)cosα=kf'(z)1+[f'(z)]2√kx0=ksinα=kf'zcosα=kf'z1+f'z2,(4)
式中:f'(z)f'z 为 f(z)fz 的一阶导数;kx0kx0 为空间频率。
使用维格纳函数可以将实空间和傅里叶空间的场联系起来,维格纳函数最初被引入量子力
学,现已成为光学研究中的一个强大工具
[25]
。光学中维格纳函数的物理意义可以近似解
释为通过特定位置 xx 和方向 kxkx 的光线强度。例如:位于 x0x0 位置的点光源的维格纳
函数为 W(x,kx)=δ(x−x0)Wx,kx=δx-x0(δδ 为狄拉克函数),空间频率为 kx0kx0 的平面
波的维格纳函数为 W(x,kx)=δ(kx−kx0)Wx,kx=δkx-kx0。通过类比点光源和平面波的情
况,可以构造出轨迹为 x=f(z)x=fz 的自加速光束所对应的维格纳函数:
W(x,kx)=∫Zmax0δ(x−x0)δ(kx−kx0)dz=∫Zmax0δ[x−f(z)+zf'(z)]δ{kx−kf'(z)1+[f'(z)]2√}dz
Wx,kx=∫0Zmaxδx-x0δkx-kx0dz=∫0Zmaxδx-fz+zf'zδkx-kf'z1+f'z2dz,(5)
式中:ZmaxZmax 为光束的最远传播距离。利用维格纳函数的性质
[24-25]
即可求得自加速光
束的初始场角谱 A(kx)=g(kx)exp[iφ(kx)]Akx=gkxexpiφkx,其中
g(kx)=∫W(x,kx)dx−−−−−−−−−−−√gkx=∫Wx,kxdx,(6)
φ(kx)=∫−[∫xW(x,kx)dx /∫W(x,kx)dx]dkxφkx=∫-∫xWx,kxdx /∫Wx,kxdxdkx。(7)
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