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双互易边界元法域内自适应布点方法及布点位置对计算精度的影响.docx
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双互易边界元法域内自适应布点方法及布点位置对计算精度的影响.docx
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摘要
边界元法以积分方程理论为数学基础,可通过加权残余量法建立起积分方程的先进数值方法,是一
种半数值半解析的方法,计算精度很高。但是传统的边界元法不能处理域内积分问题,双互易法的
引入巧妙地将域内积分转化成边界上的积分,其中径向基函数(radial basis functions, RBF)起到
了重大作用。但是数值算例表明径向基函数不稳定,阻碍了边界元法在工程实际中的应用。探讨了
域内点的布置位置对计算精度的影响,并提出可让精度得到进一步提高的一种自适应布点方法,以
较少的点达到较高的精度,并用算例进行验证。
Abstract
Based on the theory of integral equation, the boundary element method (BEM) is an
advanced numerical method of integral equation, which can be established by
weighted residual method. It is a semi-numerical and semi-analytical method with
high calculation accuracy. The traditional BEM cannot deal with the problem of
domain integral. The introduction of the dual reciprocity method can transform the
domain integral into the integral on the boundary, in which the radial basis function
(RBF) plays a significant role. However, numerical examples show that the radial
basis function is unstable, which hinders the application of BEM in engineering
practice. The main work of this paper is to discuss the influence of the position of
the nodes in the domain on the calculation accuracy, and to propose an adaptive
domain node arrangement method. Higher accuracy can be achieved with fewer
nodes, which is verified by examples.
译
关键词
双互易边界元法; 径向基函数; 积分方程; 域内布点自适应
Keywords
dual reciprocity boundary element method; radial basis function; integral
equation; domain node arrangement adaptive
译
边界元法
[ 1,2]
是通过边界积分方程建立的数值计算方法,它的主要思想是建立求解问题的边界积分
方程,通过在边界上划分单元,进而得到有限个离散自由度,将求解问题的维数降低,从而减少方
程组的维数。此外,边界元法与有限元法相比更容易与计算机建模软件接口且前处理更为简单。
然而,边界元在处理体力问题、动力学问题等时,域内积分不可避免,若通过在域内划分单元,会
使边界元法丧失降维的优势。针对域内积分问题,1982 年双互易法首次被应用到边界元法中
[ 3 ]
,
即双互易边界元法,其将体力问题、动力问题、非线性问题等的域内积分转化为边界积分。但是双
互易边界法引入了径向基函数
[ 4]
,多数计算结果表明,径向基插值不稳定,复杂问题的计算结果、
精度不能得到保证。本文初步探讨径向基插值不稳定的原因和域内布点的位置对计算结果、精度的
影响。
1 双互易边界元法基本理论
考虑如下 Poisson 方程:
∇2u=b∇2u=b
(1)
其中,对于二维问题,b=b(x
,
y),即 b 是一个关于空间坐标的未知函数。
该方程的解可以表示为一个齐次方程,即 Laplace 方程以及一个特解 uˆ之和,特解方程如下:
∇2uˆ=b∇2û=b
(2)
通常很难找到满足式(2)的解 uˆ,尤其是对于非线性及与时间相关的问题。双互易法提出用一系
列的特解来代替某一个特解 uˆ。特解的数量与待求问题中的节点总数相同。如果有 N 个边界节点
和 L 个域内节点,那么将有 N+L 个特解的值(可用 uˆj表示,j=1,2,…,N+L),如图 1 所示。
图 1 二维问题的边界及边界点和域内点
Fig.1 The boundary, boundary points and domain points of two-dimensional
problems
下载: 原图 | 高精图 | 低精图
将 b 写成如下级数近似形式:
b=∑j=1N+Lajfjb=∑j=1N+Lajfj
(3)
式中:aj 为未知初始系数;fj为近似函数。
特解 uˆj 与近似函数 fj的关系如下:
∇2uˆj=fj∇2ûj=fj
(4)
式(4)在节点上可以精确满足。
可以把整个问题的求解域看成一个大型的单元,式(3)在全域上都成立。函数 fj 为几何相关,即
只与空间坐标有关。这些函数并没有多少条件限制,事实上有多种函数形式可以被使用,这些函数
将可得到式(4)中的解 uˆj。
将式(4)代入式(3)中,得
b=∑j=1N+Laj(∇2uˆj)b=∑j=1N+Laj∇2ûj
(5)
将式(5)代入式(1)中,可得
∇2u=∑j=1N+Laj(∇2uˆj)∇2u=∑j=1N+Laj∇2ûj
(6)
式(1)中的源项 b在式(6)中被替代为系数 aj 与特解 uˆj的 Laplace 运算结果的乘积之和。
将式(6)与基本解相乘并在全域上积分,得到如下方程:
∫Ω(∇2u)u*dΩ=∑j=1N+Laj∫Ω(∇2uˆj)u*dΩ∫Ω∇2uu*dΩ=∑j=1N+Laj∫Ω∇2ûju*dΩ
(7)
式中:u*为基本解函数。对于三维问题,u*具体可以表达为
u*=14πru*=14πr
式中:r 为两点间的距离。
将式(5)中的 b代入式(7),相同的结果可以通过下面的方程得到:
∫Ω(∇2u)u*dΩ=∫Ωbu*dΩ∫Ω∇2uu*dΩ=∫Ωbu*dΩ
(8)
对式(7)中的 Laplace 项进行分部积分,可以得到如下的关于各源点的积分方程:
ciui+∫Γq*udΓ−∫Γu*qdΓ= ∑j=1N+Laj(ciuˆij+∫Γq*uˆjdΓ− ∫Γu*qˆjdΓ)ciui+∫Γq*udΓ-∫Γu*qd
Γ= ∑j=1N+Lajciûij+∫Γq*ûjdΓ- ∫Γu*qjdΓ
(9)
q*=−14πr2∂r∂nq*=-14πr2∂r∂n
式中:对于平滑边界点和内部点,ci分别为 0.5 和 1;ui 为源点势函数;u和 q分别为场点的势
函数和势函数的法向导数;uˆij 为第 i 个单元中第 j 个节点的特解势函数值;n是边界 Γ上的单位
外法线向量。
对于二维问题,qˆj可以展开为如下形式:
qˆj=∂uˆj∂x∂x∂n+∂uˆj∂y∂y∂nqj=∂ûj∂x∂x∂n+∂ûj∂y∂y∂n
(10)
注意到式(9)中没有域内积分。式(1)中的源项 b 被相同的边界积分代替。这个过程首先在运
用式(5)近似 b 时实现,然后将结果的左右两端表示为利用加权余量的边界积分。相同的结果可
以由格林第二公式或者互易原理得到。正是这个运算命名了这个方法:式(7)中的两端都通过互
易法则将所有项移到边界上,即成为双互易方法。
下一步,将式(9)中的积分替代成边界单元上的和,并将其写成离散形式。在源点 i 上将有如下
表达式:
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