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证据推理理论及其应用.docx
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证据推理理论及其应用.docx
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1967 年, Dempster 首次提出证据理论并将其用于统计问题的相关研究
[1-2]
. 之后, Shafer
于 1976 年发表了证据理论的第一本专著《A Mathematical Theory of Evidence》, 通过引入
信任函数(Belief function)概念, 进一步发展和完善了证据理论, 即 Dempster-Shafer (D-S)理
论, 标志着证据理论的正式诞生
[3]
. 在 D-S 框架下, 辨识框架(Frame of discernment, FoD)是
由一组相互排斥且整体完备的命题集组成的, 其基本概率质量不仅能赋给任意单个命题集,
也能赋给该命题集的任意子集
[4]
. 因此, 所有的证据都可以被描述为一种定义在幂集辨识框
架下的置信分布(Belief distribution, BD)形式. D-S 证据理论从置信分布的角度拓展了传统的
概率分布, 构成联合概率推理过程, 满足证据的交换律和结合律, 是传统的贝叶斯理论的推
广
[5]
. 作为一种强有力的不确定性推理和信息融合方法
[6-7]
, D-S 证据理论具有如下优点:
1)利用信任函数表达知识的不确定性, 克服了传统贝叶斯理论对先验知识或条件概率
的依赖, 使用限制条件更少, 具有强大的证据组合能力.
2)能够有效处理各类不确定性, 如随机性、模糊性、不准确性和不一致性, 合理分配
基本概率质量. 其中, 随机性是指同一事件会产生多种不同的结果; 模糊性是指同一事件会
产生含糊的结果; 不准确性是指证据或者数据源由于受到各种干扰的影响而变得不完全可
靠; 不一致性是指证据或者数据源的多样性.
3)能够有效区分无知性和等可能性, 知识的表示更加灵活准确. 在 D-S 证据理论中, 证
据对命题的部分支持并不意味着将证据的剩余支持分配给该命题的非命题, 而是分配给整
个辨识框架.
随着证据理论的提出, 许多学者开始对证据理论的理论模型解释、算法实现及其实际
应用进行探索
[8-9]
. D-S 证据理论的核心是 Dempster 组合规则, 尽管它具有强大的证据组合
能力, 在面临冲突证据时却存在着“反直觉”问题, 产生违背常理的结论, 具体见本文第 1 节.
此外, 当证据数量庞大时, 若采用 Dempster 组合规则对证据进行组合, 则会产生组合爆炸
问题, 计算量呈指数增加. 鉴于此, 广大学者从输入信息的表达和组合规则的改进等多方面
对 D-S 证据理论进行了深入研究, 目前主要围绕信任函数和置信分布两大分支展开. 其中,
信任函数主要从基本概率分配的角度来表达证据的概率特性
[10]
, 而置信分布主要从信度的
角度来表达证据的概率特性, 进而综合证据的权重和可靠度, 实现混合式表达
[11]
. 从本质上
来说, 二者是相同的, 均可用于证据的表达.
在信任函数层面, Smets 等
[12-13]
将信任函数推广到辨识框架的所有模糊子集上, 并提出
了 Pignistic 概率和可传递信度模型(Transferable belief model, TBM). Pawlak
[14]
提出的粗糙集
(Rough sets)理论为证据理论、模糊集理论和容差理论的发展提供了新的机制, 为无限框架
上的证据处理向有限框架上的近似转化提供了思路. Voorbraak
[15]
给出了信任函数的贝叶斯
近似计算公式, 并证明了信任函数的贝叶斯近似的合成等于这些信任函数的合成的贝叶斯
近似, 从理论层面减少了证据理论的计算量. Cobb 等
[16]
比较了贝叶斯与信任函数推理的异
同, 并证明了二者在具有确定模型的情况下可以实现合理转换.
在置信分布层面, 1994 年, Yang 和 Singh
[5]
首次提出了证据推理(Evidential reasoning,
ER)方法, 并将其应用于摩托车的性能评估中, 为有效解决多属性决策(Mutiple-attribute
decision making, MADM)问题提供了思路. 在此基础上, Yang
[17]
进一步提出了基于规则/效用
的输入信息转化方法, 为不确定性条件下的定量和定性信息表达提供了理论支持, 提高了
ER 方法解决不确定性的能力. 文献[18]提出了一种基于模糊规则的证据推理方法(Fuzzy
rule-based evidential reasoning, FURBER), 使用模糊语言变量描述用于定义安全级别的参数,
对工程系统的安全性进行建模、分析与综合, 并成功应用于海洋工程系统(浮式生产储存卸
载系统)的系统安全建模. Wang 等
[19]
首次将 ER 方法应用于环境影响评估(Environmental
impact assessment, EIA)问题, 并提出了 ER 解析算法, 该算法是 ER 方法的显式表达, 将有
助于解决 ER 的优化问题. Xu
[20]
和 Gao 等
[21]
将证据推理算法扩展到区间 ER 算法, 进一步提
高了 ER 处理区间不确定性的能力. 2013 年, Yang 和 Xu
[11]
提出了 ER 规则, 首次考虑了证据
的可靠度, 并证明了 Dempster 组合规则和原始 ER 算法都是 ER 规则的特殊情况, 将证据推
理理论发展到了一个新高度.
目前, 证据推理理论以其在不确定推理方面诸多的优势得到了快速发展, 广泛应用于
模式识别
[22]
、信息融合
[23-25]
、人工智能
[9, 26]
、专家系统
[27-28]
、故障检测与诊断
[29]
、多属性决
策分析
[30-32]
、风险分析
[33-34]
、图像处理
[35]
、回归分析
[36]
、供水系统
[37]
等诸多领域. 国际知名
学者 Durbach 等
[38]
对证据推理进行了高度评价, 指出: “Perhaps the most well-known belief-
based method for MCDA is the evidential reasoning rule, which regards as an alternative' s
assessment on each attribute as a different source of evidence regarding that alternative' s
overall suitability (或许最著名的基于信度的 MCDA 方法是证据推理规则, 该规则将评估方
法对每个属性的评估视为关于评估方法整体适用性的不同证据源)”.
本文从置信分布的角度出发, 对证据推理理论方法进行概述, 总结分析了相关典型文
献在证据理论发展过程中提出的重要思想, 旨在为证据理论的发展和改进提供一定的参考
和借鉴, 引起广大学者对证据推理的兴趣. 本文的整体框架与脉络如图 1 所示.
图 1 论文的整体框架
Fig. 1 The overall framework of this paper
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1. 经典 D-S 证据理论简介
1.1 基本理论描述
假设[Math Processing Error]Θ={H1,
⋯
,HN}是由一组相互排斥且构成完备集的命题所组
成的集合, 即对于任意的[Math Processing Error]i,j
∈
[1,N]且[Math Processing Error]i≠j, 恒
有[Math Processing Error]Hi∩Hj=
∅
. 其中, 符号[Math Processing Error]
∅
表示空集, [Math
Processing Error]Hi 表示第[Math Processing Error]i 个命题, [Math Processing Error]Θ 表示
辨识框架(也称全集). 定义基本概率质量为一个映射函数, 满足如下条件
[Math Processing Error]m(
∅
)=0,∑i=1Nm(Hi)=1
(1)
式中, [Math Processing Error]m(Hi)表示恰好分配给命题[Math Processing Error]Hi 的
基本概率质量. 恰好分配给辨识框架的基本概率质量也称为全局无知性, 记为[Math
Processing Error]m(Θ); 而恰好分配给辨识框架的非单子集(如[Math Processing
Error]{H1,H2})的基本概率质量称为局部无知性. 此外, 辨识框架的幂集包含[Math
Processing Error]2N 个子集, 记为[Math Processing Error]2Θ 或[Math Processing Error]P(Θ),
表示为
[Math Processing Error]2Θ=P(Θ)={
∅
,H1,
⋯
,HN,{H1,H2},
⋯
{H1,HN},
⋯
,{H1,
⋯
,HN−1},Θ}
(2)
在 D-S 证据理论中有两个基本概念, 用来对证据的置信度进行衡量, 即信任函数[Math
Processing Error]Bel(A)和似然函数[Math Processing Error]Pl(A), 它们分别由下式确定:
[Math Processing Error]Bel(A)=∑B
⊆
Am(B)
(3)
[Math Processing Error]Pl(A)=∑B∩A≠
∅
m(B)
(4)
在式(3)和式(4)中, [Math Processing Error]Bel(A)表示命题[Math Processing Error]A 的
全部子集的 BPA 之和, 即命题[Math Processing Error]A 一定成立; 而[Math Processing
Error]Pl(A)表示所有与命题[Math Processing Error]A 相交的子集的 BPA 之和, 即不否认命
题[Math Processing Error]A 的信任度. [Math Processing Error]Bel(A)和[Math Processing
Error]Pl(A)存在如下关系:
[Math Processing Error]Pl(A)=1−Bel(A¯)
(5)
其中, [Math Processing Error]A¯表示[Math Processing Error]A 的否命题. [Math
Processing Error]Bel(A)和[Math Processing Error]Pl(A)恰好构成命题[Math Processing
Error]A 的置信区间, 即[[Math Processing Error]Bel(A),[Math Processing Error]Pl(A)], 用以
表示对命题[Math Processing Error]A 的确认程度.
假设有两条相互独立且完全可靠的证据, 相应的 BPA 为[Math Processing Error]m1 和
[Math Processing Error]m2, 对于任意的[Math Processing Error]A
⊆
Θ,Dempster 合成规则可表
示为
[Math Processing Error]m(A)=[m1
⊕
m2](A)={0,A=
∅
∑B∩C=Am1(B)m2(C)1−∑B∩C=
∅
m1(B)m2(C),A≠
∅
(6)
其中, [Math Processing Error]
⊕
表示正交和算子.
1.2 证据的获取及表达
作为一种不确定性推理方法, D-S 证据理论可以有效描述带有不确定性的输入信息, 并
实现证据的定量表达
[27]
. 给定输入[Math Processing Error]xi,可以将其等价转化为如下置信
分布形式:
[Math Processing Error]S(xi)={(Hn,βn,i),n=1,
⋯
,N;i=1,
⋯
,L}
(7)
其中, [Math Processing Error]xi 既可以是定性知识, 也可以是定量信息, 还可以是符号
信息
[27, 39]
. [Math Processing Error](Hn,βn,i)表示第[Math Processing Error]i 个输入被评估为
等级[Math Processing Error]Hn 的置信度为[Math Processing Error]βn,i,[Math Processing
Error]N 表示评估等级的数量, [Math Processing Error]L 表示输入信息的数量. 下面给出不
同形式的输入向[Math Processing Error]βn,i 转化的方法
[17, 39]
.
1)基于语义参考值的定量输入转化方法
a)基于规则/效用的输入信息转化方法
若输入定量信息为[Math Processing Error]xi,相应的参考值为[Math Processing
Error]hi,j[Math Processing Error]i=1,
⋯
,L,j=1,
⋯
,J,其中[Math Processing Error]J 表示参考值的
个数. 此时, 决策者或专家可以将[Math Processing Error]xi 的数值量[Math Processing
Error]xi,j 与其参考值[Math Processing Error]hi,j 建立起映射关系, 即
[Math Processing Error]xi,jmeanshi,j
(8)
不失一般性, 假设相对于参考值[Math Processing Error]hi,j 而言, 决策者更偏向于参考
值[Math Processing Error]hi,j+1. 令[Math Processing Error]hi,J 和[Math Processing
Error]hi,j+1 分别为最大和最小的参考值, 那么, [Math Processing Error]xi 可以等价转化为
类似于式(7)所示的置信分布形式:
[Math Processing Error]S(xi)={(hi,j,βi,j),i=1,
⋯
,L;j=1,
⋯
,J}
(9)
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