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基于FPGA技术的双磁控忆阻Shinriki振荡器对称行为分析.docx
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基于FPGA技术的双磁控忆阻Shinriki振荡器对称行为分析.docx
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1. 引言
基于电路的完备性和基本变量的对称性,1971 年文献[1]首次从理论上提出忆阻器的
概念。作为一类具有记忆性的非线性二端口元件,忆阻器的伏安特性曲线常表现为斜“8”字
型的过零点紧磁滞回线特征
[2]
。因此,将其与非线性混沌电路结合极易产生丰富的动力学
现象。大量研究表明,忆阻混沌电路在神经网络
[3]
、人工智能
[4]
、保密通信
[5]
、信号处理
[6]
等方面具有广阔的应用前景。因此,多种忆阻电路
[7]
被相继提出和分析,其中有忆阻超混
沌 Jerk 系统
[8]
、非自治忆阻 FitzHugh-Nagumo 电路
[9]
、忆阻文氏桥振荡器
[10]
和 Sallen-Key
低通滤波忆阻振荡器
[11]
等。
不同于普通非线性电路,忆阻电路往往拥有更为复杂的动力学特性,比如,对称分岔
行为、多稳态特性、反单调性和不完全对称行为等。对称性
[12]
在关于初值对称的忆阻系统
中普遍存在,从系统方程中即可看出。而文献[13]在改进型忆阻蔡氏电路中,首次发现了
特定参数下系统的对称分岔行为,并通过共存分岔图和李雅普诺夫指数进行揭示。多稳态
现象
[14]
主要表现为依赖于系统初始条件的多种吸引子共存现象。文献[15]构造了基于最简
忆阻器的准哈密顿系统,系统无平衡点,但存在无穷多隐藏吸引子,在多稳态现象下揭示
系统通过间歇和瞬态混沌走向混沌的途径。反单调现象
[16]
是当某些特定参数或初值变化
时,在参数域或初值域成对产生正向和反向倍周期分岔级联的现象。文献[17]讨论了基于
RLCM 四元件的混沌电路中,随参数变化出现的正负初值互补共存的周期-混沌气泡。拥有
不同拓扑结构吸引子的不完全对称行为
[18]
通常存在于低维系统中,文献[19]在 3 阶忆阻 HR
神经元模型中运用相位图、分岔图和动力学地图等分析方法,揭示了系统存在的不对称共
存吸引子的隐藏动力学行为。但是,关于特定参数的对称动力学行为在高维系统中的研究
较少。
基于此,本文通过在经典 Shinriki 振荡器
[20]
中引入无源和有源磁控忆阻,并在电感支
路串联电阻,搭建出一个新型的 5 维忆阻振荡系统。通过动力学行为分析发现该系统特有
的在特定参数下的对称共存分岔现象,并通过 Lyapunov 指数谱对比验证。同时将这一现
象延伸至双参数平面以及参数-初值平面内分析,观察到在对称吸引域内多种运动状态吸引
子的共存行为。对系统在对称域内伴随出现的反单调现象、不完全对称行为等进行了重点
分析。最后,在 FPGA 数字平台,对双磁控忆阻 Shinriki 振荡器开展电路实验,通过仿真
波形验证数值分析的正确性以及对称动力学行为的真实存在性。
2. 双磁控忆阻 Shinriki 振荡器模型
图 1 给出了双磁控忆阻 Shinriki 振荡器模型,电路结构主要由 3 个部分构成:负阻抗
转换器、非线性正电阻区域以及 RLC 谐振回路。原电路
[20]
中负阻抗转换器由两个等值电阻
${R_1}$和${R_2}$、运算放大器$U$以及接地电阻${R_3}$组成,该部分对外电路表现为
$ - {R_3}$,且作为电源向电路其他部分供能。非线性正电阻区域利用一个 3 次无源磁控忆
阻器${W_1}$替换原来的二极管串并联支路。负阻抗转换器与非线性正电阻区域间通过
${R_4}$和电容${C_0}$的并联连接在一起。RLC 谐振回路的存在,对电路能随机产生振荡
波形和周期性波形起到了关键作用,本文中,在电感$L$支路串联电阻${R_5}$,同时将电
阻支路用一个 3 次有源忆阻器${W_2}$替代,提高电路的复杂度,便于产生更丰富的非线
性动力学现象。新构建的双磁控忆阻 Shinriki 振荡器包含 5 个动态元件,分别是电容
${C_0}$, $C$,电感$L$,两个磁控忆阻器${W_1}$和${W_2}$,对应的状态变量如图 1 所
示为${V_{{C_0}}}$, ${V_C}$, ${i_L}$, ${\varphi _1}$和${\varphi _2}$。
图 1 双忆阻 Shinriki 振荡器模型
下载: 全尺寸图片 幻灯片
图 1 中两个磁控忆阻器的忆导表达式分别为${W_1}({\varphi _1}) = {m_1} +
3{m_2}\varphi _1^2$和${W_2}\left( {{\varphi _2}} \right) = {n_1} + 3{n_2}\varphi _2^2$。依
据电路元件的伏安特性以及基尔霍夫电压、电流定律,推导出图 1 的状态方程为
$$ \left. \begin{aligned} & \frac{{{\rm{d}}{V_{{C_0}}}}}{{{\rm{d}}t}} = \left[ {\left( {{V_C} - {V_{{C_0}}}}
\right){W_1}\left( {{\varphi _1}} \right) + \left( {\frac{1}{{{R_3}}} - \frac{1}{{{R_4}}}} \right){V_{{C_0}}}}
\right]/{C_0} \\ & \frac{{{\rm{d}}{V_C}}}{{{\rm{d}}t}} = \left[ {\left( {{V_{{C_0}}} - {V_C}}
(1)
\right){W_1}\left( {{\varphi _1}} \right) - {W_2}\left( {{\varphi _2}} \right){V_C} - {i_L}} \right]/C \\ &
\frac{{{\rm{d}}{i_L}}}{{{\rm{d}}t}} = \left( {{V_C} - {R_5}{i_L}} \right)/L \\ & \frac{{{\rm{d}}{\varphi
_1}}}{{{\rm{d}}t}} = {V_C} - {V_{{C_0}}} \\ & \frac{{{\rm{d}}{\varphi _2}}}{{{\rm{d}}t}} = {V_C}
\end{aligned} \right\} $$
令${V_{{C_0}}} = x,{V_C} = y,{i_L} = z,{\varphi _1} = u, {\varphi _2} = v, 1/{C_0}
$$ = a,1/C = b,1/L = c,1/{R_3} - 1/{R_4} = d,{R_5} = e$,则可得到系统对应的数学模型如式
(2)所示。
$$ \left. \begin{aligned} & \frac{{{\rm{d}}x}}{{{\rm{d}}t}} = a\left[ {\left( {y - x} \right)\left( {{m_1} +
3{m_2}{u^2}} \right) + dx} \right] \\ & \frac{{{\rm{d}}y}}{{{\rm{d}}t}} = b\left[ {\left( {x - y} \right)\left( {{m_1} +
3{m_2}{u^2}} \right) - \left( {{n_1} + 3{n_2}{v^2}} \right)y - z} \right] \\ & \frac{{{\rm{d}}z}}{{{\rm{d}}t}} =
c\left( {y - ez} \right) \\ & \frac{{{\rm{d}}u}}{{{\rm{d}}t}} = y - x \\ & \frac{{{\rm{d}}v}}{{{\rm{d}}t}} = y
\end{aligned} \right\} $$
(2)
后续对系统的分析将建立在式(2)所描述的数学模型的基础上,参数设置见表 1,系统
初值选择为$\left( {{{10}^{ - 6}},{{10}^{ - 6}},{{10}^{ - 6}},0,0} \right)$。数值仿真得到系
统在$x - v$和$u - v$平面双涡卷混沌吸引子相图如图 2(a)和图 2(b)所示。
表 1 系统参数设置值
参
数
设置
值
参数
设置
值
参数
设置
值
a
3
d
2
${m_2}$
3.2
b
1
e
0.05
${n_1}$
–
0.02
c
15
${m_1}$
1.2
${n_2}$
0.01
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图 2 系统混沌相图
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