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一种基于加权改进平滑l0范数的DOA估计方法.docx
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2023-02-23
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一种基于加权改进平滑l0范数的DOA估计方法.docx
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波达方向(direction of arrival,DOA)估计作为阵列信号处理领域中的重要研究方向,在
声呐、雷达和地震勘测等领域具有很大的应用空间
[1-3]
。其中比较经典的有基于子空间理论的子
空间分解类算法,即多重信号分类(multiple signal classification method,MUSIC)算法
[4]
和
信号参数旋转不变(eestimating signal parameter via rotational invariance techniques,
ESPRIT)算法
[5]
。以上 2 类算法均需得到信号协方差矩阵,再对其进行分解,在良好条件下,
可实现高分辨率 DOA 估计,但是需要大量的快拍数据作为估计精度保障,且无法求解相干源
信号。尽管以上算法可通过平滑处理的方法来解决相干信号的问题,但会增加计算量,且会损
失一定的阵列孔径,使得分辨率下降。另外,最大似然估计(maximum likelihood,ML)方法
也具有较好的估计性能,但是需要非线性多维搜索,计算量较大
[6]
。近年来,压缩感知
(compressed sensing,CS)理论的提出和广泛应用
[7-9]
,为 DOA 估计提供了新的研究途径,
一些学者利用信源在空域的稀疏性,直接将压缩感知的经典算法运用到波达方向估计中。由于
计算量小,以正交匹配追踪(orthogonal matching pursuit,OMP)为代表的贪婪类算法
[10-11]
常
被用来解决该问题,该类算法的关键在于经过反复迭代,找到测量矩阵中提供较大能量的原
子,从而估计出信号方向。但在低信噪比情况下通常找不到最优解,容易使得 DOA 估计精度
下降。另一类方法是将 l0l0 范数最小化问题转化为求解 l1l1 范数最小化问题,如 L1-SVD 算法
[12]
估计精度高,需要采用线性规划进行求解,计算量较大,实时处理困难。文献[13]提出平滑
l0l0 范数重构算法,其主要思路是通过构造一个带参的高斯平滑函数族来近似信号的 l0l0 范
数,通过最速下降法求解平滑函数的最优解。由于其计算简单,目前已取得了许多的研究成
果,如文献[14]将高斯函数替代为逼近度更高的双曲正切函数去拟合 l0l0 范数,并采用修正牛
顿法提高了收敛速度。文献[15]和文献[16]中分别提出用一组复合三角函数和修正近似双曲正切
函数来逼近 l0l0 范数,虽然重构效果有所提高,但函数模型比较复杂,使得迭代计算复杂度较
高。
基于平滑 l0l0 范数类算法的核心是将求解 l0l0 范数问题转化为求解平滑函数的极值问
题,但是该类算法通常对噪声敏感,且多用于单快拍下 DOA 估计。为了进一步优化算法的适
应能力,引入了多观测矢量(multiple measurement vectors,MMV)模型,采用奇异值分解,先
对信号降维并提取信号子空间,一定程度上降低了计算量。为了使得算法重构精度更高,提出
拟合程度更高的复合优化函数去逼近 l0l0 范数,并采用加权机制,加速稀疏解的获取,最后利
用最速下降法快速求解。通过实验论证,所提算法在低信噪比、少快拍下具有更优的 DOA 估
计误差。
1. 压缩感知框架下的 DOA 估计模型
假设空间中有 L 个来波信号方向为 θi,i∈{1,2,⋯,L}θi,i∈{1,2,⋯,L} 的远场窄带信号
si(t),i∈{1,2,⋯,L}si(t),i∈{1,2,⋯,L} ,入射到阵元数为 MM 的均匀线阵中,其接收范围为
(−0.5π,0.5π)(−0.5π,0.5π) ,阵元间距为 dd 。为了获得稀疏信号,将整个空间划分为
2N+12N+1 份,则整个空间可表示为 {θ1,θ2,⋯,θ2N+1}{θ1,θ2,⋯,θ2N+1} ,其中
θk=−0.5π+(k−1)π/2Nθk=−0.5π+(k−1)π/(k−1)π2N2N , k∈{1,2,⋯,2N+1}k∈{1,2,
⋯,2N+1} 。从信号能量角度分析,由于整个空间中只有 L(L≪2N+1)L(L≪2N+1) 个远场窄带信
号,即至多只有 LL 个不同来波方向上才有真实的信号能量分布,因此信号的真实方向相对于
整个信号空间则是稀疏的。基于空间等角度均匀划分后所构造的阵列流型矩阵 A 是一个
M×(2N+1)M×(2N+1) 维矩阵,在压缩感知理论中,相当于一个过完备冗余字典,可作为测量
矩阵使用。若阵列接收到 L 个远场窄带信号各自在 T 个不同时刻的快拍数据,则信号的 MMV
接收模型可表示为
Y=AS+GY=AS+G
(1)
式中: YY 为 M×TM×T 维阵列接收信号矩阵; SS 为 (2N+1)×T(2N+1)×T 维远场窄带
信号矩阵,其中只有 L(L≪2N+1)L(L≪2N+1) 行不为 0,为稀疏信号矩阵。对于 SS 中的列向
量 ss 而言, ss 中只有 L(L≪2N+1)L(L≪2N+1) 个位置不为 0,为稀疏向量; GG 为
M×TM×T 维的高斯白噪声矩阵; A=[a(θ1)a(θ2)⋅⋅⋅a(θ2N+1)]A=[a(θ1)a(θ2)⋅⋅⋅a(θ2N+1)] ,
为 M×(2N+1)M×(2N+1) 维空间等角度网格化构造的阵列流型矩阵,其中
a(θk)=[1e−j2πdsinθk/λ⋅⋅⋅e−j2π(M−1)dsinθk/λ]Ta(θk)=[1e−j2πdsinθk/−j2πdsinθkλλ⋅⋅⋅
e−j2π(M−1)dsinθk/−j2π(M−1)dsinθkλλ]T 为导向矢量, k∈{1,2,⋅⋅⋅,2N+1}k∈{1,2,⋅⋅
⋅,2N+1} , λλ 为信号的波长, dd 为阵元间距。
压缩感知框架下的 DOA 估计通常是在获得稀疏网格化构造的阵列流型矩阵 A 和阵列接收
信号矩阵 Y 之后,利用重构算法对入射信号矩阵 SS 进行恢复,从而找出 SS 中对应的非零位
置集合并将其映射到划分的网格空间,最终求解出的 θj,j∈{1,2,⋯,L}θj,j∈{1,2,⋯,L} 即为实际的
信号来波方向。
2. 改进平滑 l
0
范数的 DOA 估计算法
针对式(1)中信号接收矩阵 Y 的列向量 yy ,以及稀疏矩阵 SS 中的稀疏列向量 ss ,在
空间存在噪声情况时,可转化为下述优化问题进行求解:
argmins ∥s∥0 s.t. ∥y−As∥22⩽ςargmins ‖s‖0 s.t. ‖y−As‖22⩽ς
(2)
式中: ∥s∥0 = ∑i=12N+1∥si∥0‖s‖0 = ∑i=12N+1‖si‖0 表示向量 s 的 l
0
范数,
∥si∥0={0, si = 01, si≠0‖si‖0={0, si = 01, si≠0 ,其中 si(i∈{1,2,⋅⋅⋅,2N + 1})si(i∈{1,2,⋅⋅
⋅,2N + 1}) 是稀疏向量 ss 的第 ii 个元素值; ςς 为噪声水平。但由于式(2)直接求解 l0l0 范
数是一个 NP 难问题,通常不能直接求解。平滑 l0l0 范数(smoothed L0 norm,SL0)方法通
过构建平滑函数来近似逼近最小 l0l0 范数,利用优化算法求解平滑函数的极值,从而能够较好
地实现信号的恢复重构。
SL0 类算法中一个关键问题就是如何构建一个平滑函数来近似逼近,从而实现更有效的信
号恢复。最初的 SL0 算法
[17]
使用高斯函数
fρ(si)=1−exp(−s2i/2ρ2)fρ(si)=1−exp(−si2/si22ρ22ρ2) 趋近 l0l0 范数程度,则
Fρ(si)=∑i=12N+1fρ(si)Fρ(si)=∑i=12N+1fρ(si) 可近似为 l0l0 范数。为了更好地逼近 l0l0 范
数,提高算法性能,引入改进的复合优化函数:
gρ(si)=s2i(s2i+ρ2)gρ(si)=si2(si2+ρ2)
当参数 ρ→0ρ→0 时,可知 gρ(si)gρ(si) 极限为
limρ→0gρ(si)={0, si=01, si≠0limρ→0gρ(si)={0, si=01, si≠0
由于 ∥s∥0‖s‖0 表示向量 ss 的 l
0
范数即向量 s 中的非零元素个数,令 Gρ(s)
= ∑i=12N+1gρ(si)Gρ(s) = ∑i=12N+1gρ(si) ,当 ρ→0ρ→0 时,考虑极端情况,若 sisi 均为 0,
由于 gρ(si)gρ(si) 极限为 0,所以 Gρ(s) = 0Gρ(s) = 0 ;若 sisi 均不为 0,由于 gρ(si)gρ(si) 极
限为 1,所以 Gρ(s) = 2N + 1Gρ(s) = 2N + 1 ,因此 Gρ(s) Gρ(s) 的值随着 sisi 是否为 0 在
0∼2N + 10∼2N + 1 变化,即可表示向量 ss 中非零值个数。因此可知 Gρ(s)Gρ(s) 能很好地
逼近 l
0
范数,即 limρ→0 Gρ(s)≈∥s∥0limρ→0 Gρ(s)≈‖s‖0 。
图 1 和图 2 分别在 ρ=0.2ρ=0.2 和 ρ=0.1ρ=0.1 处直观地观察高斯函数 fρ(si)fρ(si) 与所提
复合优化函数 gρ(si)gρ(si) 对于 l
0
范数的逼近程度,图中 H(si)H(si) 代表函数值。
图 1 ρ=0.2ρ=0.2 时函数对于 l0l0 范数的逼近程度
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资源评论
- demonlords2023-10-24这个资源对我启发很大,受益匪浅,学到了很多,谢谢分享~
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