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状态估计理论被广泛应用于各领域, 例如太空监测

[1]

、无线通信、机器人运动跟踪以

及金融行业等

[2]

. 当系统为线性、噪声统计特性服从高斯分布并完全已知时, 卡尔曼滤波器

是最优的解决方案

[3-4]

. 在大多数实际工程应用中, 系统往往存在非线性、非高斯等复杂特

征, 此时若采用经典卡尔曼滤波方法来对实际系统进行状态估计, 将出现估计精度下降和收

敛性变差等情形, 甚至会出滤波发散现象, 这严重制约了经典卡尔曼滤波理论在实际工程中

的应用. 因此, 深入开展非线性非高斯系统下的卡尔曼滤波方法研究具有重要的意义.

近几十年来, 研究人员已提出诸多面向非线性系统的卡尔曼滤波方法, 如扩展卡尔曼

滤波、无迹卡尔曼滤波、容积卡尔曼滤波(Cubature Kalman filter, CKF)

[5]

, 以及一些相应的

改进算法. 其中, 扩展卡尔曼滤波因结构简单在早期大受欢迎, 但该方法只能处理弱非线性

问题, 当系统非线性增强时其估计性能将急剧下降; 与扩展卡尔曼滤波相比, 无迹卡尔曼滤

波引入了采样近似技术, 估计精度和稳定性有了很大提升; CKF 则是在无迹卡尔曼滤波基础

上提出的一种改进型卡尔曼滤波方法, 基于三阶球面径向容积准则来进行采样近似, 是理论

上当前最接近贝叶斯滤波的基础性非线性滤波算法. 现有研究表明, CKF 的数值稳定性及滤

波精度优于传统的扩展卡尔曼滤波和无迹卡尔曼滤波, 尤其是在高维非线性系统状态估计

中具有更为明显的算法优势

[6-7]

此外, 针对非高斯系统的状态估计问题研究也取得一些进展, 目前已建立了基于高斯

和、粒子滤波和极大相关熵等技术在内多种非高斯滤波方法

[8]

. 文献[9]基于最大相关熵准

则提出一种适用于非高斯噪声的卡尔曼滤波算法, 但是其高斯核大小对结果影响较大. 为了

克服这一缺陷, 研究者们对极大相关熵准则中的核函数进行一系列的改进

[10]

, 如对高斯核大

小进行自适应处理, 但都难以从根本解决对核敏感的问题. 高斯和技术是一种比较直观和受

欢迎的非高斯处理方法之一, 其基本原理是采用多个有限高斯项概率密度去逼近非高斯概

率密度, 即利用多个高斯分布的和去近似表示一个非高斯分布, 从而可以基于传统的卡尔曼

滤波框架实现滤波

[11]

. 因此, 通过将高斯和技术和 CKF 结合, 可进一步构建相应的滤波算

法来解决非线性非高斯系统的状态估计问题

[3, 12]

. 事实上, 高斯和滤波器设计的关键问题主

要包括高斯混合模型的参数估计和高斯项优化合并

[13-14]

, 其中高斯混合模型参数估计主要采

用期望最大化(Expectation-maximum, EM)算法, 该算法是由 Dempster 等

[15]

于 1977 年提出的

一种迭代算法, 其通过估计参数的极大似然值来分析不完全数据集, 从而达到获取最佳聚类

结果的目的. 然而, EM 算法存在对初始值比较敏感、收敛速度慢、容易陷入局部收敛以及

需要知道混合成分个数等缺陷, 在工程应用受到极大的限制

[16-17]

, 依然有待进一步深入改进.

此外, 在高斯和滤波过程中, 高斯项的个数会呈指数型递增, 这使得对高斯项进行合理有效

地合并就显得非常必要. 目前典型用于高斯项合并的距离度量包括马氏(Mahalanobis)距离

和 Kullback-Leibler (KL)距离

[18-19]

, 其中马氏距离度量倾向于采用剪枝方式来删除权重较低

的高斯项, 而 KL 距离度量更倾向于合并而不是剪枝方式

[19]

. 由于这两种高斯混合项处理方

式机理不同, 所产生的高斯项约简效果也有差异, 一般很难从理论上验证孰优孰劣.

针对上述问题, 本文以自由度为 3 (包括 x、y 与朝向) 的地面移动机器人的运动状态

估计系统为对象, 提出一类改进的非线性非高斯 CKF 的设计. 该工作主要创新包括建立一

种改进的鲁棒 EM 算法, 并提出了基于信息融合技术的高斯项合并方法. 在鲁棒 EM 算法改

进方面, 本文将引入加权信息量概念来进一步完善 EM 算法中的目标函数惩罚项, 使得在优

化过程中能考虑包括隐含信息量在内的更全面的参数信息. 通过这种方式, 得到的权重更新

参数将更具有代表性, 从而减少 EM 算法的迭代次数并提高其收敛速度. 在高斯项合并方法

方面, 综合考虑上述两类高斯项合并方法原理和性能上的差异性和互补性, 基于信息融合技

术提出一种新的高斯合并项融合方法: 先单独对马氏距离和 KL 距离度量进行高斯混合项

合并, 以改善高斯项合并距离度量的合理性; 再以两个距离度量独立运行输出的高斯合并项

为基础, 提出对两类高斯合并项进行加权融合的高斯混合项融合方法. 基于传统高斯和容积

卡尔曼滤波的设计框架, 本文提出新型非线性非高斯滤波方法, 并通过理论分析和机器人转

弯运动状态估计仿真场景来验证新算法的有效性.

1. 问题描述

1.1 系统描述

考虑如下一类非线性非高斯估计系统:

$$ {{\boldsymbol{x}}_k} = {{\boldsymbol{f}}_{k - 1}}\left( {{{\boldsymbol{x}}_{k - 1}}} \right) + {{\boldsymbol{w}}_{k - 1}} $$

(1)

$$ {{\boldsymbol{z}}_k} = {{\boldsymbol{h}}_k}\left( {{{\boldsymbol{x}}_k}} \right) + {{\boldsymbol{v}}_k} $$

(2)

式中, ${\boldsymbol{x}}_k\in {{\bf{R}}^n}$为系统的状态变量, ${\boldsymbol{z}}_k

\in {{\bf{R}}^m}$为系统的量测向量, ${\boldsymbol{f}}\left( \cdot \right)$和

${\boldsymbol{h}}\left( \cdot \right)$分别为已知的状态转移函数和量测函

数. ${\boldsymbol{w}}_{k-1} \in {{\bf{R}}^n}$为非高斯过程噪声, ${\boldsymbol{v}}_{k}

\in {{\bf{R}}^m}$为非高斯量测噪声. 实际上, 非高斯噪声如脉冲噪声、闪烁噪声等广泛存

在于工程应用中, 会严重破坏以二阶统计理论为基础的高斯滤波算法的设计过程

[20]

, 因此为

了提高滤波器工程应用能力, 必须深入研究非高斯滤波方法的设计.

1.2 高斯和容积卡尔曼滤波

根据高斯和定理, 任意分布的概率密度函数都能够用$ N $个高斯项的累加进行近似表

示, 即利用多个不同权重的高斯项求和去描述非高斯噪声

[11]

. 过程和量测噪声可用高斯混合

模型表示为:

$$ p\left( {{{\boldsymbol{w}}_{k-1}}} \right) = \sum\limits_{j = 1}^J {\alpha _{w,k}^j} N\left( {{{\boldsymbol{w}}_{k-

1}};{\bar{\boldsymbol{w}}}_{k-1}^j,{\boldsymbol{Q}}_{k-1}^j} \right) $$

(3)

$$ p\left( {{{\boldsymbol{v}}_k}} \right) = \sum\limits_{l = 1}^L {\alpha _{v,k}^l}

N\left( {{{\boldsymbol{v}}_k};{\bar{\boldsymbol{v}}}_k^l,{\boldsymbol{R}}_k^l} \right) $$

(4)

式中, $p\left( {{{\boldsymbol{w}}_{k - 1}}} \right)$、$p\left( {{{\boldsymbol{v}}_k}}

\right)$分别表示过程噪声和量测噪声的概率密度; $ \alpha _{w,k}^j $、

${\bar{\boldsymbol{w}}}_{k-1}^j$和${\boldsymbol{Q}}_{k-1}^j$分别表示第$ j $个过程噪

下载: 全尺寸图片幻灯片

现有的高斯和容积卡尔曼滤波方法研究重点集中在算法设计上, 主要包括如下 2 个核

心问题: 1)对于非高斯噪声特性的参数估计研究. 虽然通过高斯和原理可将非高斯噪声表示

为多个高斯分布的混合模型, 但应用传统的 EM 算法及改进方法对高斯混合模型的参数进

行估计时, 往往需要提前确定混合成分个数, 并且初始参数值对算法性能的影响较大, 因此

提高 EM 算法的鲁棒性对于改善高斯和滤波的性能非常重要; 2)对高斯混合项的合并模型降

阶方法的研究. 高斯和滤波过程将产生大量的高斯项, 这是非高斯模型高斯化的必然结果.

但过多的高斯项必然会对整个滤波过程和结果性能产生不利影响, 尤其是高斯项合并结果

将直接影响非高斯状态估计的性能. 现有研究大都采用单一距离的合并机制, 如基于马氏距

离的高斯项合并, 该方法主要倾向于合并均值相近的高斯项. 事实上, 高斯化后产生的众多

高斯项类型和特征各有不同, 单一的合并基准或策略往往难以尽可能有效地衡量出所有需

要合并或剪枝的高斯项, 同时又需要考虑最大高斯分量数的约束, 使得寻找一个合适的动态

阈值来降低算法复杂度的同时又能保证算法精度是一个挑战性的问题. 因此, 如何设计更加

高效的高斯项合并策略成为改善高斯和滤波性能的一个重要方向.

1.3 研究动机

由于准确确定高斯混合模型中混合成分的具体类簇和数量是非常困难的, 从而导致传

统 EM 算法的应用和性能受到很大的限制. 因此, 针对第 1.1 节的问题 1), 本文借鉴文献

[21]引进信息量概念的思路, 通过对传统 EM 算法目标函数添加惩罚项, 优化 EM 算法中权

重参数的更新规则, 得到一种中引进信息量概念来改进 EM 算法输出性能的思想, 通过进一

步增加传统 EM 算法目标函数惩罚项(即加权信息量)的方式来实现 EM 算法中权重参数更

新规则的深度优化, 从而获得一种改进的鲁棒 EM 算法. 该改进算法将混合成分个数的初值

作为采样点数, 从而能有效改善对初始参数值敏感的问题, 随后应用各个类簇竞争性的关系

和迭代过程中删除权重低的项来获得混合成分的具体参数, 从而 EM 算法的鲁棒性能够得

到有效改善.

针对问题 2), 考虑到基于单一距离指标的高斯项合并方式存在适用性和鲁棒性等受限

问题, 加之高斯化得到的高斯混合项具有各自的特性以及每种距离指标拥有天然不同的明

确倾向性, 使得采用信息融合技术来实现多种距离指标下高斯项合并方法的融合成为可能,

因此提出基于多距离指标高斯项的二次融合模式来设计一种改进的高斯混合项合并方法.

理论上使用更多的距离指标更够更加符合和逼近高斯混合项的复杂特征, 但为了研究阐述

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