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区间值信息系统的熵度量.docx
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区间值信息系统的熵度量.docx
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粗糙集理论是由 Pawlak
[1]
于 1982 年提出的,它是一种处理不一致、不完备和不精确
信息的有效工具。近年来,粗糙集理论已被成功地应用于诸多领域,如知识发现、数据挖
掘及模式识别等。
Shannon
[2]
提出的信息熵是一种度量不确定性的重要工具,已被广泛地应用于许多领
域。在粗糙集理论中,针对划分情形,文献[3-4]给出了粗糙集理论中主要概念与运算的信
息表示,研究了知识的粗糙性与信息熵之间的关系。文献[5]研究了粗糙集理论的香农熵度
量和哈特莱熵度量,并给出了公理化性质。文献[6]利用信息熵的最小描述长度原则,提出
了 3 种模型选择准则,且定义了 3 种条件熵来预测属性重要性。文献[7]研究了粗糙集和粗
糙关系数据库的粗糙熵度量。文献[8]提出了一种基于信息增益互补的信息熵并验证了其合
理性,并在此基础上,引入了条件熵和互信息。文献[9]从信息熵、粗糙熵和知识粒度角度
研究了粗糙集理论的不确定性。文献[10]研究了划分情形的信息熵与补熵,并将其扩展到
覆盖情形,虽然覆盖情形下的熵是香农熵的形式,但其不满足单调性。目前,划分情形的
熵度量已得到了完善解决。
区间值信息系统作为单值信息系统的一种推广,能很好地描述不精确的对象和保存数
据的特征。在区间值信息系统中,基于区间值的相似度构建相容关系,由相容关系产生的
相容类构成论域的覆盖。关于该情形下的熵度量,文献[11]研究了区间值和集值信息系统
基于模糊偏序关系的模糊粗糙熵和模糊知识粒度,并研究了熵度量与粒度度量之间的关
系。文献[12]通过引入相似度的概念定义了基于相容关系的 θ-相容类,并提出用 θ-相似熵
来度量区间值信息系统的不确定性。文献[13]定义了 α-弱相似关系,建立了基于 α-弱相似
关系的粗糙集模型,并给出不完备区间值信息系统的精度、粗糙度和近似精度,用以度量
不完备区间值信息系统的不确定性。虽然学者们对区间值信息系统的不确定性度量进行了
研究,但仍缺少香农熵形式的熵度量。鉴于此,本文给出了一种由覆盖导出划分的方法,
并证明了覆盖越细,由其导出的划分越细,进而构造了区间值信息系统的信息熵与补熵,
并且证明了它们的单调性和有界性。
1. 预备知识
本节简要回顾了一些基本概念及其性质。
定义 1.1
[1]
设 U 为论域,称 R⊆U×U 为 U 上的一个二元关系。若 R 满足自反性、对
称性、传递性,则称之为 U 上的一个等价关系。称[x]R={y∈U|(x,y)∈R}为元素 x 的 R 等价
类。
显然由所有等价类构成的集合为论域 U 的一个划分。
定义 1.2
[1]
设 U 是论域,π1={X1,X2,⋯,Xm}和 π2={Y1,Y2,⋯,Ym}是 U 上的两个划
分,若对于任意的 Xi∈π1,存在 Yj∈π2,使得 Xi⊆Yj,则称 π1 细于 π2(或 π2 粗于 π1),记作
π1⩽π2。
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