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基于子空间分解类算法的高精度频率估计.docx
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基于子空间分解类算法的高精度频率估计.docx
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无线通信信号处理领域中实时高精度的频率估计对全数字解调器的解码具有十分重要
的理论和实用价值。在众多频率估计算法中,快速傅里叶变换法是经典谱估计理论中的重
要算法和理论基础,尤其适用于确定性长信号的谱估计,具有算法复杂度低、计算量小、
易于硬件实现的特点,但需要对信号实现整周期采样,否则会导致严重的频率泄露和栅栏
效应,应用受到了极大的限制
[1]
。子空间分解类算法源于现代空间谱估计理论,一般分为
两类:一类是噪声子空间类算法,典型代表为多重信号分类法(multiple signal classification,
MUSIC)
[2]
;另一类是信号子空间类算法,典型代表为旋转不变技术估计信号参数法
(ESPRIT)
[3]
。求根 MUSIC(RMUSIC)算法则是用求多项式根的方法避免了传统 MUSIC 算法
的谱峰搜索过程,极大地降低了计算复杂度,具有更高的频率分辨率,但在极低的信噪比
(signal to noise ratios, SNR)下,该算法估计精度略有不足
[4-5]
。ESPRIT 算法作为信号子空间
类算法也同样具有较高的估计精度,通过两次特征值分解就可以直接估计出接收信号的频
率,但计算量相对较大
[6-10]
。
目前,结合法作为提高频率估计精度和降低硬件实现复杂度的有效方法得到了广泛的
关注。文献[11]首先提出了一种将 FFT 和 FFT 结合的算法(本文称为 F-F 算法),提高了频
率估计精度,降低了计算量。文献[12]将 FFT 和 MUSIC 相结合(本文称为 F-M 算法),用于
间谐波的频率估计,不仅解决了 FFT 算法的频率泄露和栅栏效应问题,同时避免了耗时的
谱峰搜索过程。文献[13]将 ESPRIT 和 RMUSIC(本文称为 E-RM 算法)联合,可用于解决数
字解调器的频率估计问题,通过计算复数矩阵向量的乘积,在一定程度上降低了计算复杂
度,并保持较高的频率估计精度。
高精度和实时性要求的矛盾一直都是频率估计在高速全数字解调器中应用的瓶颈。因
此,研究一种既保证高精度,又满足低计算量的频率估计算法,具有重要的应用前景。本
文深入研究了基于子空间分解类算法、F-F、F-M 和 E-RM 算法的实现特点,并针对上述技
术的频率估计精度仍有不足和计算量仍较高的问题,分别提出了将 RMUSIC 与 FFT 结合
(本文称为 R-F 算法)和将 ESPRIT 与 FFT 结合(本文称为 E-F 算法)的频率估计算法,通过对
信号频率的预估计,再利用加窗插值 FFT 算法在已确定的细化域内完成精估计。针对这两
种算法在高低 SNR 下的不同性能,本文还提出了一种具有可选结构的 RF-or-EF 算法,通
过事先设定的 SNR 阈值,能够自适应地选择 R-F 算法或 E-F 算法进行频率估计,满足各种
SNR 条件下的频率估计需求。仿真结果表明,本文所提出的算法具有频率估计精度高、实
时性强、计算量小的特点,不会产生频谱泄露,优于现有的频率估计算法。
1. 基于子空间分解的信号频率估计
基于相关矩阵特征分解的信号频率估计是现代信号频率估计的重要内容,其中典型的
代表有 RMUSIC 法和 ESPRIT 法。
1.1 基于 RMUSIC 算法的信号频率估计
假设由 K 个复正弦波组成的信号为:
r(n)=∑k=1Kαkejωkn+z(n)r(n)=∑k=1Kαkejωkn+z(n)
(1)
式中,αk=|αk|ejϕkαk=|αk|ejϕk 是第 k 个信号的复幅度;ωk=2πfkωk=2πfk 是第 k 个信
号的角频率;fkfk 是第 k 个信号的频率;ϕkϕk 是初始相位(且不同信号的相位相互独立);
z(n)z(n)是均值为 0、方差为 σ2σ2 的加性高斯白噪声。
定义接收信号向量为 r(n)=[r(n),r(n−1),⋯,r(n−r(n)=[r(n),r(n−1),
⋯,r(n−M+1)]TM+1)]T,则有:
r(n)=As(n)+z(n)∈CM×1r(n)=As(n)+z(n)∈CM×1
(2)
式中,
=A=[a(ω1),a(ω2),⋯,a(ωK)]⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢1e−jω1⋮e−j(M−1)ω11e−jω2⋮e−j(M−1)ω2⋯⋯⋯1e−jωK⋮e−j(M−1)ωK⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥∈CM×Ks(n)=[α1ejω1n,α2ejω2n,⋯,αKejωKn]Tz(n)=[z(n),z(n−1),⋯,z(n−M+1)]TA=[a(ω1),a(ω2),⋯,a(ωK)]=[11⋯1e−jω1e−jω2⋯e−jωK⋮⋮⋮e−j(M−1)ω1e−j(M−1)ω2⋯e−j(M−1)ωK]∈CM×Ks(n)=[α1ejω1n,α2ejω2n,⋯,αKejωKn]Tz(n)=[z(n),z(n−1),⋯,z(n−M+1)]T
(3)
式中,符号[⋅]T[⋅]T 和 CC 分别表示矩阵转置和复数集合。
在实际工程应用中,一般用 r(n)r(n)的样本相关矩阵的估计 R^R^代替 R 进行特征分
解
[7]
,为:
R^=1L∑i=0L−1rrHR^=1L∑i=0L−1rrH
(4)
式中,n=1,2,⋯,Ln=1,2,⋯,L,L 为样本采样点数;[⋅]H[⋅]H 表示矩阵复共轭转置。
对 R^R^进行特征值分解可以产生 K 个较大的特征值和 M-K 个较小的特征值,且对应
的特征向量分别为[q1,q2,⋯,qK][q1,q2,⋯,qK]和[qK+1,qK+2,⋯,qM][qK+1,qK+2,⋯,qM],故定义
[7]
:EsEs 是由[q1,q2,⋯,qK][q1,q2,⋯,qK]生成的信号子空间;EzEz 是由
[qK+1,qK+2,⋯,qM][qK+1,qK+2,⋯,qM]生成的噪声子空间。EsEs 既与信号有关,又与噪声有
关;而 EzEz 仅与噪声有关。
由于 aH(ωk)(k=1,2,⋯,K)aH(ωk)(k=1,2,⋯,K)与 EzEz 正交,故可定义:
PRMUSIC(z)=aH(z)EzEHza(z)=0PRMUSIC(z)=aH(z)EzEzHa(z)=0
(5)
式中,zk=ejωk(k=1,2,⋯,K)zk=ejωk(k=1,2,⋯,K)是方程的根。根据求得的根即直接估计
出信号频率,其估计的频率误差比 MUSIC 算法小,精度更高
[14-15]
。
1.2 基于 ESPRIT 算法的信号频率估计
ESPRIT 算法是另一种基于子空间思想的信号频率估计算法,即利用信号子空间的旋
转不变性求解出信号的特征参数。
假设解调器接收到的信号仍为式(2)所示向量。定义随机过程 y(n)≜r(n+1)y(n)≜
r(n+1),并分别定义向量 y(n)y(n)和矩阵 ΦΦ 为:
y(n)=[y(n),y(n−1),⋯,y(n−M+1)]Ty(n)=[y(n),y(n−1),⋯,y(n−M+1)]T
(6)
Φ=diag{ejω1,ejω2,⋯,ejωk}Φ=diag{ejω1,ejω2,⋯,ejωk}
(7)
式中,旋转算子 ΦΦ 满足 ΦHΦ=ΦΦH=IΦHΦ=ΦΦH=I,I 是秩为 M 的单位阵。因此,
由式(2)和式(6)可得:
y(n)=r(n+1)=As(n+1)+z(n+1)y(n)=r(n+1)=As(n+1)+z(n+1)
(8)
由于 s(n+1)=Φs(n)s(n+1)=Φs(n),所以式(8)可以表示为:
y(n)=AΦs(n)+z(n+1)y(n)=AΦs(n)+z(n+1)
(9)
接收向量的自相关矩阵为:
Rrr=E⌈r(n)rH(n)⌉=APAH+σ2IRrr=E⌈r(n)rH(n)⌉=APAH+σ2I
(10)
式中,P≜E⌈s(n)sH(n)⌉=diag{|α1|2,|α2|2,⋯,|αK|2}P≜E⌈s(n)sH(n)⌉=diag{|α1|2,|α2|2,
⋯,|αK|2}。相应地,向量 r(n)r(n)和 y(n)y(n)的互相关矩阵为:
Rrv=E⌈r(n)yH(n)⌉=APΦHAH+σ2ZRrv=E⌈r(n)yH(n)⌉=APΦHAH+σ2Z
(11)
式中,σ2Z=E⌈z(n)zH(n+1)⌉σ2Z=E⌈z(n)zH(n+1)⌉;Z 中的元素
[Z]m,m+1=1,[Z]m,m+1=1,1⩽m⩽M−11⩽m⩽M−1,其余元素全为 0。
对 RrrRrr 进行特征分解,得到 RrrRrr 的最小特征值
λmin=λM=σ2(λ1⩾λ2⩾⋯⩾λM)λmin=λM=σ2(λ1⩾λ2⩾⋯⩾λM),由式(10)和式(11),定义如下矩
阵对{Crr,Crv}{Crr,Crv}:
Crr=Rrr−σ2I=Rrr−λminI=APAHCrr=Rrr−σ2I=Rrr−λminI=APAH
(12)
Crv=Rrv−σ2Z=Rrv−λminZ=APΦHAHCrv=Rrv−σ2Z=Rrv−λminZ=APΦHAH
(13)
若存在标量 λλ 和非零向量 u,使得方程:
(Crr−λCrv)u=0(Crr−λCrv)u=0
(14)
成立,则这样的标量 λλ 称为矩阵对{Crr,Crv}{Crr,Crv}的广义特征值
[7]
。当矩阵
Crr−λCrvCrr−λCrv 是奇异时,该方程中的向量 u 有非零解,即行列式满足:
|Crr−λCrv|=0|Crr−λCrv|=0
(15)
故求解式(15)可以得到矩阵对{Crr,Crv}{Crr,Crv}的广义特征值为
ejω1,ejω2,⋯,ejωKejω1,ejω2,⋯,ejωK。
2. R-F 高精度频率估计算法
从上一节介绍可知,RMUSIC 算法具有很高的频率分辨率,且不需要搜索整个谱峰,
但在低信噪比时分辨力还不够。而 FFT 算法实现复杂度低、硬件易于实现,但对于信号非
整周期采样,则应用受到限制
[16]
。
基于上述问题,首先提出 R-F 高精度频率估计算法,具体步骤如下:
1)根据 L 个样本观测值 r(0),r(1),⋯,r(L−1)r(0),r(1),⋯,r(L−1),确定接收信号表达式;
2)计算接收信号的样本自相关矩阵 R^R^;
3)对 R^R^进行特征值分解;
4)确定 M-K 个噪声子空间的特征向量;
5)求解式(5),得到接收信号频率的初步估计值;
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