基于环形抽样代理模型的结构可靠性分析方法.docx资源-CSDN文库

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工程中的不确定性广泛存在，如振动、冲击、加速度、噪声及载荷等，这些因素对结

构的性能和可靠性产生重要影响

[1]

。结构可靠性理论和方法为处理工程中各种不确定性问

题提供有效解决途径。

蒙特卡洛仿真(monte carlo simulation, MCS)方法具有较高的精度和鲁棒性，其可靠性

分析结果常常作为衡量其他方法优劣的标准，广泛应用于结构可靠性分析领域

[2]

。但对于

小概率问题，MCS 方法需要大量样本来保证精度，尤其性能函数是隐式时，需通过数值仿

真，如有限元分析(finite element analysis, FEA)

[3-4]

求解输入变量的输出响应，导致可靠性分

析耗费大量时间，效率低下。为了提高可靠性分析的效率，一阶、二阶可靠性分析方法

(first-/second-order reliability methods, FORM/SORM)

[5]

被广泛采用。FORM、SORM 在可靠

性设计点(most probable point, MPP)对性能函数分别进行一阶、二阶泰勒展开。然而，由于

忽略展开式中的高阶项，对于非线性程度较高的性能函数，FORM、SORM 的精度较低，

很难得到准确的可靠性指标。为了更好地平衡精度和效率，近年来，代理模型技术在结构

可靠性领域广泛发展。常见的代理模型有：响应面法(response surface method, RSM)

[6-7]

、神

经网络(neural networks, NN)

[8-9]

、支持向量机(support vector machine, SVM)

[10-11]

、克里金插

值(Kriging)

[12-18]

等。

Kriging 模型因具有准确的插值特性和提供估计值的不确定性方差，而被广泛应用于

结构可靠性领域。文献[19]提出一种学习方程—U 方程，为 Kriging 在结构可靠性领域广泛

发展奠定了坚实的基础；文献[17]提出一种基于子集模拟(subset simulation, SS)的可靠性分

析方法，为解决小概率失效问题提供了一种可行的途径；文献[18]考虑变量权重并保证所

选样本点之间保持一定的距离且分布在极限状态方程周围；文献[20]引入了 K-Means 聚类

算法考虑变量之间的相关性问题；文献[21]连接极限状态方程两侧异号的特定样本点，再

在此直线上随机产生 n 个样本点，寻找最佳候选样本点。虽然以上方法都在一定程度上提

升了可靠性分析的效率，但很少关注代理模型更新过程中的抽样区域问题；鉴于此，本文

通过 3σ3σ 准则、欧式距离确定代理模型更新过程中的抽样区域，避免因对失效概率贡献

较小的区域持续抽样而造成计算资源的浪费，提高了可靠性分析的效率。另外，通过改变

抽样区域带宽，该方法也可用于解决结构可靠性分析中的小失效概率问题。

1. Kriging 模型

Kriging 模型(高斯过程回归)是起源于地质统计学的一种插值方法，不仅可以估计样本

点响应的均值，还可以表征估计结果不确定程度，目前在可靠性领域已得到广泛的应用。

Kriging 模型通常分为线性回归部分和随机过程部分，其数学模型可表示为

[22]

：

G(x)=f(x)β+z(x)G(x)=f(x)β+z(x)

(1)

式中，f(x)f(x)为变量 x 的一个多项式函数，本文 f(x)f(x)取值 1；β 是回归系数；

z(x)z(x)是一随机过程，服从正态分布 z(x)∼N(0,σ2)z(x)∼N(0,σ2)，其协方差方程为：

Cov[z(xi),z(xj)]=σ2Rθ(xi,xj)Cov[z(xi),z(xj)]=σ2Rθ(xi,xj)

(2)

式中，Rθ(xi,xj)Rθ(xi,xj)是 xi，xjxi，xj 之间的相关函数，本文选择鲁棒性更强的高斯

方程，表示如下：

Rθ(xi,xj)=exp(−∑d=1nθd(xdi−xdj)2)=∏d=1nexp(−θd(xdi−xdj)2)Rθ(xi,xj)=exp⁡(−∑d=1nθd(xid−xjd)2)=∏d=1nexp⁡(−θd(xid−xjd)2)

(3)

根据设计空间样本 xx 及其响应 G(x)G(x)，可得回归系数以及随机过程方差的估计值

[23]

：

β^=(1TR−1θ1)−11TR−1θYβ^=(1TRθ−11)−11TRθ−1Y

(4)

σ^2=1m(Y−β^1)TR−1θ(Y−β^1)σ^2=1m(Y−β^1)TRθ−1(Y−β^1)

(5)

式中，1 是元素均为 1 的 m×1 向量；Y 为样本响应。求得 Kriging 模型后，通过式(6)

和式(7)估计样本 x 的响应 G^(x)G^(x)和方差 σ^2G^σ^G^2，其中

μ(x)=1TR−1θr(x)−1μ(x)=1TRθ−1r(x)−1

[23]

G^(x)=β^+r(x)TR−1θ(Y−β^1)G^(x)=β^+r(x)TRθ−1(Y−β^1)

(6)

r(x0)=[Rθ(x0,x1),Rθ(x0,x2),⋯,Rθ(x0,xm)]Tr(x0)=[Rθ(x0,x1),Rθ(x0,x2),⋯,Rθ(x0,xm)]T

(7)

σ^2G^(x)=σ^2[1−r(x)TR−1θr(x)+μ(x)T(1R−1θ1)−1μ(x)]σ^G^2(x)=σ^2[1−r(x)TRθ−1r(x)+μ(x)T(1Rθ−11)−1μ(x)]

(8)

2. 代理模型更新与抽样策略

构建高效的代理模型，样本点的选取策略是关键。设计空间不同区域的样本点对失效

概率的贡献不一样，因此在代理模型构建过程中，若在贡献较小的区域过多的选取样本

点，或贡献较大的区域过少的选取样本点，都会影响代理模型的构建效率和精度；再者，

依据传统的 AK-MCS 方法选取样本点，同样避免不了对失效概率贡献较小的区域过多的选

取样本点。基于代理模型的结构可靠性分析中，为了提高所构建模型的建模效率和精度，

需构建特定的抽样区域，该区域的样本点相对其他区域样本点对失效概率有较大的贡献。

因此，所选样本点应分布在极限状态方程附近；再构建抽样特定区域，通过选取该区域内

的样本点对代理模型进行更新。分析如下。

1)通过 AK-MCS 中 U

[19]

方程，即 U=|G^(x)|/σG^(x)U=|G^(x)|/σG^(x)，可确定样本空

间中 3 类样本点，如图 1 所示。若选中的样本点落在对失效概率贡献较小的区域，代理模

型不能进行有效的更新，反而增加了对性能函数的无效调用，降低了可靠性分析的效率。

因此，避开样本空间对失效概率贡献较小的区域尤为重要。

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