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基于两阶段加窗插值的多音信号频率估计算法.docx
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基于两阶段加窗插值的多音信号频率估计算法.docx
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多音信号的频率估计是许多领域的基本问题,包括雷达
[1]
和无线通信
[2]
。如在正交频
分复用(orthogonal frequency division multiplexing, OFDM)通信系统的载波频偏估计
[2]
和多音
干扰消除
[3]
中会遇到多音信号的频率估计。现有的用于多音信号频率估计算法主要分为两
类:时域估计算法和频域估计算法。
时域估计算法通常会需要矩阵求逆、特征值分解、奇异值分解
[4]
,因此其计算复杂度
为 O(LN3)O(LN3),其中 LL 为单音分量的数量,NN 为采样点数。
频域估计算法主要基于离散傅里叶变换(discrete fourier transform, DFT)和一些插值形
式,因此他们的计算复杂度一般为 O(LNlog2N)O(LNlog2N),这远小于时域估计算法,因
此频域估计算法得到了更多的关注和应用。针对单音信号,已有很多插值器被提出
[5]
,但
在处理多音信号时,频谱泄露造成的分量间互干扰会降低这些插值器的估计精度。为了降
低分量间互干扰,许多基于加窗的插值器被提出。文献[6]提出基于赖夫−文森特类 I 窗的
插值器。文献[7]提出汉宁窗,文献[8]提出余弦窗。文献[9]提出了一种适用于经典窗函数的
补零插值器,然而由于其中的三次方程,该插值器的估计性能较差。文献[10]提出了一种
高阶多项式插值算法来补偿特定于窗函数的估计器偏差,支持任意窗函数。基于文献
[10],文献[11]提出了一个新的插值器,该插值器仅根据窗函数调整偏差补偿因子,因此其
复杂度更低。虽然这些非矩形窗可以减少分量间的互干扰,但也会造成一定的功率损失。
文献[12]提出了牛顿化正交匹配追踪(newtonalized orthogonal matching pursuit, NOMP)算
法,该算法通过牛顿迭代法和反馈提高频率估计的精度,然而其计算复杂度较高。文献
[13]提出了一种迭代估计算法,该算法采用了 A&M 插值器
[14]
。文献[15]提出了一种两阶段
估计算法,该算法采用了抛物线插值器
[16]
来克服分量间互干扰,然而当分量间频率间隔较
小时,其估计性能仍然较差。
为了降低分量间的相互干扰,提高频率估计性能,本文提出了一种基于两阶段加窗插
值(two-stage windowed interpolation, TSWI)的多音信号频率估计算法,该算法包含一个新的
支持任意窗函数的插值器。在第一个阶段,通过选用可以降低频谱泄露的窗函数获得初始
估计值;在第二个阶段,由于分量间的相互干扰可以通过初始估计值消除,通过选用矩形
窗函数弥补第一阶段非矩形窗带来的信噪比(signal-to-noise ratio, SNR)损失并得到精估计
值。数值仿真结果表明,本文算法具有比现有算法更优的估计性能。
1. 系统模型
含噪声的多音信号可以表示为:
r[n]=∑l=1Lsl[n]+w[n]=∑l=1LAlej2πflfsn+w[n]r[n]=∑l=1Lsl[n]+w[n]=∑l=1LAlej2πflfsn+w[n]
(1)
式中,n=0,1⋯,N−1n=0,1⋯,N−1,NN 为样点数;LL 为分量数;AlAl、flfl 和 φlφl 为第
ll 个分量 sl[n]sl[n]的复幅度、频率和初相,fsfs 为采样率;w[n]w[n]为加性高斯白噪声
(additive white gaussian noise, AWGN),w[n]∼CN(0,2σ2)w[n]∼CN(0,2σ2)。
为了获得接收信号频谱的更多细节,可以利用带补零的 DFT 变换,即:
R[k]=∑n=0N−1r[n]e−j2πknN′R[k]=∑n=0N−1r[n]e−j2πknN′
(2)
式中,k=0,1⋯,N′−1k=0,1⋯,N′−1;N′=N+P0N′=N+P0,P0P0 为补零长度。
将式(1)代入式(2)中,可得:
R[k]=∑l=1LSl[k]+∑n=0N−1w[n]e−j2πknN′R[k]=∑l=1LSl[k]+∑n=0N−1w[n]e−j2πknN′
(3)
式中,
Sl[k]=AlejπN−1N′(kl+δl−k)sinπN(kl+δl−k)N′sinπ(kl+δl−k)N′Sl[k]=AlejπN−1N′(kl+δl−k)sinπN(kl+δl−k)N′sinπ(kl+δl−k)N′
(4)
kl=⌊(N′fl/fs)+0.5⌋kl=⌊(N′fl/fs)+0.5⌋
(5)
δl=(N′fl/fs)−klδl=(N′fl/fs)−kl
(6)
根据式(4)可得:
S(1)lsinπδl−πN′+S(−1)lsinπδl+πN′=2S(0)lsinπδlN′secπNN′Sl(1)sinπδl−πN′+Sl(−1)sinπδl+πN′=2Sl(0)sinπδlN′secπNN′
(7)
式中,
S(x)l=Sl[kl+x]ejπN−1N′x,x=−1,0,1Sl(x)=Sl[kl+x]ejπN−1N′x,x=−1,0,1
(8)
通过分析式(7),可得:
δl=N′πarctan(S(−1)l−S(1)l)tanπN′2S(0)lcosπNN′secπN′−S(−1)l−S(1)lδl=N′πarctan(Sl(−1)−Sl(1))tanπN′2Sl(0)cosπNN′secπN′−Sl(−1)−Sl(1)
(9)
当 N′≫πN′≫π 时,式(9)可简化为:
δl≈R⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪S(−1)l−S(1)l2S(0)lcosπNN′−S(−1)l−S(1)l⎫⎭⎬⎪⎪⎪⎪δl≈ℜ{Sl(−1)−Sl(1)2Sl(0)cosπNN′−Sl(−1)−Sl(1)}
(10)
2. 基于 TSWI 的多音频率估计算法
2.1 新加窗插值器
基于式(10),本文提出一种加窗插值器,其推导过程如下。
为了简化分析,假设 L=1L=1。加窗的接收信号可以表示为:
r~[n]=h[n]r[n]r~[n]=h[n]r[n]
(11)
式中,h[n]h[n]为窗函数。类似地,r~[n]r~[n]的频域信号为:
R~[k]=S~l[k]+∑n=0N−1h[n]w[n]e−j2πknN′R~[k]=S~l[k]+∑n=0N−1h[n]w[n]e−j2πknN′
(12)
式中,
S~l[k]=Al∑n=0N−1h[n]ej2πkl+δl−kN′nS~l[k]=Al∑n=0N−1h[n]ej2πkl+δl−kN′n
(13)
根据式(10),本文提出一种假设,即存在一个系数 CN′CN′,使得式(14)为真。
δl≈CN′R⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪S~(−1)l−S~(1)l2S~(0)lcosπNN′−S~(−1)l−S~(1)l⎫⎭⎬⎪⎪⎪⎪δl≈CN′ℜ{S~l(−1)−S~l(1)2S~l(0)cosπNN′−S~l(−1)−S~l(1)}
(14)
式中,
S~(x)l=S~l[kl+x]ejπN−1N′x,x=−1,0,1S~l(x)=S~l[kl+x]ejπN−1N′x,x=−1,0,1
(15)
根据式(13)可知:
S~l[kl−x]=Alf(x+δl)S~l[kl−x]=Alf(x+δl)
(16)
式中,
f(x)=∑n=0N−1h[n]ej2πxnN′f(x)=∑n=0N−1h[n]ej2πxnN′
(17)
根据泰勒展开可知,f(x+δl)f(x+δl)可展开为:
f(x+δl)=f(x)+f′(x)δl+O(δ2l)f(x+δl)=f(x)+f′(x)δl+O(δl2)
(18)
式中,
f′(x)=j2πN′∑n=0N−1nh[n]ej2πxnN′f′(x)=j2πN′∑n=0N−1nh[n]ej2πxnN′
(19)
根据式(15)、式(16)和式(18)可知,式(14)中的分子可以展开为:
S~(−1)l−S~(1)l=Al[ja0+a1δl+O(δ2l)]S~l(−1)−S~l(1)=Al[ja0+a1δl+O(δl2)]
(20)
式中,
a0=I{f(1)e−jπN−1N′−f(−1)ejπN−1N′}a0=ℑ{f(1)e−jπN−1N′−f(−1)ejπN−1N′}
(21)
a1=R{f′(1)e−jπN−1N′−f′(−1)ejπN−1N′}a1=ℜ{f′(1)e−jπN−1N′−f′(−1)ejπN−1N′}
(22)
类似地,式(14)中的分母可以展开为:
2S~(0)lsecπNN′−S~(−1)l−S~(1)l=Al[b0+jb1δl+O(δ2l)]2S~l(0)secπNN′−S~l(−1)−S~l(1)=Al[b0+jb1δl+O(δl2)]
(23)
式中,
b0=R⎧⎩⎨2f(0)cosπNN′−f(1)ejπN−1N′−f(−1)e−jπN−1N′⎫⎭⎬b0=ℜ{2f(0)cosπNN′−f(1)ejπN−1N′−f(−1)e−jπN−1N′}
(24)
b1=I⎧⎩⎨2f′(0)cosπNN′−f′(1)ejπN−1N′−f′(−1)e−jπN−1N′⎫⎭⎬b1=ℑ{2f′(0)cosπNN′−f′(1)ejπN−1N′−f′(−1)e−jπN−1N′}
(25)
因为 a0a0、a1a1、b0b0 和 b1b1 都是实数,所以有:
R{ja0+a1δlb0+jb1δl}=a1b0+a0b1b20δl+O(δ2l)ℜ{ja0+a1δlb0+jb1δl}=a1b0+a0b1b02δl+O(δl2)
(26)
将式(20)和式(23)代入式(26)可得:
δl=R⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪b20a1b0+a0b1(S~(−1)l−S~(1)l)2S~(0)lcosπNN′−S~(−1)l−S~(1)l⎫⎭⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪+O(δ2l)δl=ℜ{b02a1b0+a0b1(S~l(−1)−S~l(1))2S~l(0)cosπNN′−S~l(−1)−S~l(1)}+O(δl2)
(27)
根据式(27)可知,本小节所提出的假设是真,且系数 CN′CN′可以表示为:
CN′=b20a1b0+a0b1CN′=b02a1b0+a0b1
(28)
特别地,当窗函数为矩形窗时,有 CN′=1CN′=1。
基于式(27),本文提出了一种加窗插值器,即:
δ^l=CN′R⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪R~(−1)l−R~(1)l2R~(0)lcosπNN′−R~(−1)l−R~(1)l⎫⎭⎬⎪⎪⎪⎪δ^l=CN′ℜ{R~l(−1)−R~l(1)2R~l(0)cosπNN′−R~l(−1)−R~l(1)}
(29)
式中,δ^lδ^l 为 δlδl 的估计值,且:
R~(x)l=R~[k^l+x]ejπN−1N′x,x=−1,0,1R~l(x)=R~[k^l+x]ejπN−1N′x,x=−1,0,1
(30)
式中,k^lk^l 为 klkl 的估计值,具体运算在下一节给出。
2.2 TSWI 的第一阶段
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