一种求解Lasso问题的不精确邻近梯度算法.docx

《一种求解Lasso问题的不精确邻近梯度算法》 Lasso问题，全称为最小绝对值收缩和选择算子，是由Tibshirani在1996年提出的一种线性回归方法，它引入了l1正则化项，以寻找线性回归问题的稀疏解。在数据挖掘、机器学习以及信号处理等领域，Lasso问题具有广泛的应用，如稀疏信号恢复、稀疏图回归、图像修复等。Lasso问题的优化模型通常表述为： minimize_x {F(x):=1/2 * ||Ax - b||^2_2 + ρ * ||x||_1} 其中，x是待求解的向量，A是系数矩阵，b是观测值，ρ是正则化参数，||·||_1表示向量的l1范数，||·||_2表示向量的l2范数。Lasso问题的目标是找到一个既能解释数据又具有稀疏特征的解。 邻近梯度法是解决Lasso问题的一种常见策略。这种方法的基本思想是在每一步迭代中，通过一个邻近算子来更新变量，以保证解的稀疏性。例如，FISTA（Fast Iterative Shrinkage-Thresholding Algorithm）就是邻近梯度法的一种高效变体，其收敛速度与Nesterov的最优梯度法相当。然而，FISTA算法在某些情况下可能受限于固定的邻近参数，导致收敛速度受到影响。 为了解决这个问题，Scheinberg等人提出了FISTA-BKTR，即FISTA的线搜索加速邻近梯度法。该方法通过动态调整邻近参数并结合完全回溯技术，可以在保持迭代复杂度不变的同时，加速算法的收敛，并确保在Lasso问题中增加的计算量可以忽略不计。 在实际应用中，由于邻近子问题可能没有解析解，或者精确求解的计算代价过大，常常需要采用近似求解邻近算子。于是，本文提出了一种不精确邻近梯度算法，该算法允许在计算梯度和邻近算子时存在一定误差。具体来说，算法在每次迭代时，用不精确的邻近算子代替原有的精确解，同时考虑到光滑项计算梯度的误差e和求解邻近算子的误差ε。 不精确邻近梯度算法的关键步骤如下： 1. 初始化参数和迭代点。 2. 计算当前点的梯度和不精确邻近算子。 3. 检查当前解是否优于二次近似，如果否，则减小邻近参数并重新计算。 4. 更新迭代步长和下一迭代点。 5. 如果满足误差容忍条件，则停止迭代，否则继续下一轮迭代。 通过引入这种不精确性，算法在保持收敛性的前提下，提高了求解效率。作者进一步分析了算法的收敛速度，并通过数值实验验证了其性能。与传统的FISTA-BKTR算法相比，本文的不精确版本考虑了计算误差，从而在加速收敛的同时，适应了更广泛的现实问题。 这种不精确邻近梯度算法为解决Lasso问题提供了一个实用而灵活的工具，它能够在处理大规模或复杂数据集时降低计算成本，提高求解效率，对于理解和改进稀疏优化算法具有重要的理论价值和实践意义。