地球椭球向径和平均曲率半径的积分表达式.docx
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2022-11-29
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地球向径和平均曲率半径是测量和地球科学计算中常用的基本参数，根据地球科学、
空间科学的要求和某些需求，常用到地球向径、平均曲率半径、平均球半径、等距离球半
径、等面积球半径和等体积球半径
[1-7]
。由于地球是一个旋转椭球，向径与曲率半径是背离
的。向径 ρρ 最大(ρ=a(ρ=a，aa 为椭球长半轴）时，曲率半径最小；向径 ρρ 最小
(ρ=b(ρ=b，bb 为椭球短半轴）时，曲率半径最大。只有将地球看作是球体时，向径与半
径才相等。
随着空间技术和计算机技术在大地测量及地图学
[8]
中的应用和发展，研究地球向径和
常用地球半径之间的关系具有更加重要的实用价值。文献[9]提出使用不同的球体半径表示
球体特性，将不同球体半径代入克拉索夫斯基椭圆参数求得数值解，再代入到球体面积公
式，求得不同半径下大圆航线长度和角度变形大小，发现使用等角球半径计算大圆航线可
以满足航海使用精度要求。文献[10]将子午圈曲率半径和卯酉圈曲率半径展开为大地纬度
的幂级数，并借助辅助函数 VV 导出了不同形式的平均曲率半径展开式。文献[11]利用地
球向径和计算机代数系统对大地测量学和地理信息系统中的问题进行了研究。
从目前来看，前人对这一领域做了很多卓有成效的工作，但主要是针对其中一种或几
种地球半径单独进行计算和应用，多是对等角纬度、等面积纬度及等距离纬度的计算与分
析
[12-17]
，很少有文献对向径进行推导和研究。为丰富对这一问题的理论研究，引入向径积
分平均值和半径积分平均值的概念，并利用计算机代数系统（计算机代数系统可以将基本
的数学公式展开成幂级数形式，推导出的公式相对于人工计算具有更高的精确度
[18-21]
）将
向径和半径分别进行椭圆曲线积分和椭球曲面积分，得到向径曲线积分平均值、向径曲面
积分平均值、曲率半径曲线积分平均值和曲率半径曲面积分平均值。
1. 地球向径和常用地球半径表达式
地球向径 ρρ 是地心 O 到椭球面上任意一点 P 的距离，如图 1 所示。图 1 中，X 为
横轴，Y 为纵轴。ρρ 关于地心纬度的表达式为：
ρ=b1-e2cos2ϕ ]]>
图 1 地球向径示意图
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