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设有限域 F
q
有 q=p
n
个元素,其中,p 是素数,n 是正整数。若 f(x)为 F
q
aF
q
上
的 一 一 映 射 , 则 称 多 项 式 f(x)∈F
q
[x] 为 域 F
q
上 的 置 换 多 项 式 (Permutation
Polynomials,PPs)。有限域上的置换多项式在编码理论以及代数组合论中有着
非常重要的应用。在编码理论中,置换多项式可以用来构造最优线性码
[1-2]
。在
代数组合论中,置换多项式可以用来构造具有良好性质的差集系统
[3]
。完全置换
多项式(Complete Permutation Polynomials,CPPs)是一类特殊的置换多项式,
除了上述在编码理论和代数组合论中有应用外,完全置换多项式还可用来构造
正交拉丁方阵
[4⇓-6]
,并和最大长度序列(maximum length sequence,m-序列)及其
采样之间的互相关值猜想具有密切联系
[7]
。近年来,研究者又发现利用完全置换
多项式可以构造一类在两种不同的广义离散傅里叶变换下具有均匀频谱的布
尔函数——Bent-Negabent 函数
[8]
。因此,完全置换多项式的研究无论是在理论
上还是应用上都十分有必要。
若 f(x)和 f(x)+x 都是 F
q
上的置换多项式,则称多项式 f(x)∈F
q
[x]为完全置换
多项式。设 d 为正整数,则 a
-1
x
d
是 F
q
上的完全置换单项式当且仅当 gcd(d,q-1)=1
且 a
-1
x
d
+x 是 F
q
上的置换二项式。若 a
-1
x
d
是 F
q
上的完全置换单项式,则称 d 为
F
q
上的完全置换单项式指数。完全置换多项式于 1942 年由 MANN 提出
[5]
。1982
年,NIEDERREITER 等
[9]
对完全置换多项式进行了详细的研究,并提出了二项式
xpn-1t+1+bx 构成域 Fpn 上完全置换二项式的充要条件,t|(p
n
-1)。2014 年,TU 等
[10]
利 用 加 法 特 征 和 极 坐 标 表 示 法 给 出 了 有 限 域 Fpn 上 的 完 全 置 换 单 项 式 。 同
年,WU 等
[11]
提出了 4 类 F2rm 上指数类型为 d=2rm-12r-1+1 的完全置换单项式,这
里 m=3,4,6,10。2015 年,WU 等
[12]
又证明了 d=3
r
+2 是 Fp2r 上的完全置换单项
式指数;证明了 Niho 型指数 d=(p
r
-1)pi-12+p
i
(p 是奇素数,r 为正整数)是 Fp2r 上的
完全置换单项式指数;给出了当 m=4 时,d=prm-1pr-1+1 为完全置换单项式指数的
充要条件。同年,XU 等
[13]
给出了 d=3
r
+2,d=2×3
r
+3,d=2×3
n-1
-3
r-1
以及 d=3
n-1
+2×3
r-
1
构成 F3n(n=2r)上的 CPP 指数的完整刻画。2017 年,MA 等
[14]
利用加法特征构
造 了 F2n 上 三 类 完 全 置 换 单 项 式 指 数 d=2
4k-1
+2
2k-1
, 这 里
n=6k,gcd(k,3)=1;d=(1+2
2k-1
)(1+2
2k
)+1 和 d=p4k-12+p
2k
,这里 n=4k。2020 年,TU
等
[15]
证 明 了 在 乘 法 意 义 下 d=3×2
m
-2 是 F22m 上 的 完 全 置 换 多 项 式 指 数 。 同
年,SHARMA 等
[16]
提出了在限定 p,m 下 d=p
m
+2 为完全置换单项式指数的充
分条件。关于完全置换多项式的详细研究情况,读者可以参考文献[17]。相关研
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