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高阶非线性系统新型固定时间收敛抗扰控制.docx
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高阶非线性系统新型固定时间收敛抗扰控制.docx
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对于高阶非线性系统,早期的控制方法一般先进行线性化处理,再采用线性最优控制
[1-2]
、状态反馈
[3]
、PID
[4-5]
等控制方法.这些方法在处理具有快时变外扰动和较大不确定因素的非线性系统时,设计出的控
制器的控制效果往往存在超调较大、调节时间过长、稳态误差不能满足控制精度要求等问题.近 20 年来,
一些非线性控制理论迅速发展并逐渐成熟起来,如 backstepping 控制
[6]
、滑模变结构控制
[7]
、基于微分几
何的容错控制
[8]
、神经网络控制
[9]
等.其中以 backstepping 最有利于高阶非线性系统控制器的设计,其它
一些现代先进的控制方法也直接或间接含有 backstepping 进行递推简化控制器设计的思想,因而成为高
阶非线性系统控制的研究基础和核心之一
[10]
.
backstepping 控制将高阶非线性系统分解成多个子系统,从第一个子系统开始设计虚拟控制器,再
逐步递推,直至设计出整个系统的真实非线性控制器,降低复杂系统控制器设计的难度,获得广泛的应
用.文[11]针对柔性关节机器人的数学模型将 backstepping 与观测器相结合,对未知项进行估计并补偿,
设计出高精度的控制器.文[12]基于 backstepping 获得控制系统的存储函数,再结合自适应控制方法设计
出系统的非线性控制器,保证系统能够有效地实时估计非线性参数,提高系统的收敛速度和稳定性.文[13]
结合李氏函数、tanh 函数、Nussbaum 函数并运用 backstepping 得到非线性鲁棒控制器,提高非仿射非
线性系统跟踪的精度.文[14]采用了 backstepping 推出扩展状态观测器并设计出非线性鲁棒控制器,消除
未测量和建模误差的干扰,保证跟踪瞬态最佳性能并提高跟踪的精度.以上 backstepping 控制均是指数收
敛的,其收敛性在靠近原点的区域将急剧衰减,使得该论域内的鲁棒性被削弱,也使得稳态误差增大.该
问题不仅存在于 backstepping 控制中,而且广泛存在于现有的非线性控制.近 20 年逐步发展起来的李氏
有限时间收敛控制为此类问题提供解决方案的思路.文[15]通过构造自适应李氏有限时间收敛控制器,使系
统跟踪误差在有限时间内收敛到原点足够小的邻域内,同时让闭环系统所有信号都是有界的.文[16]结合滑
模控制和李氏有限时间收敛控制理论应用于运载火箭的姿态有限时间控制.文[17]首先利用神经网络和最小
参数学习原理对系统的不确定性进行近似,然后利用有限时间控制理论设计出系统动态面控制器,使系统
曲面误差和边界误差有限时间收敛于原点邻域.当前,固定时间收敛控制算法进一步发展成为有限时间控
制理论,是当前研究的前沿热点,其主要优点在于存在一个与初始状态无关的固定收敛时间上界,且不论
系统状态(误差)轨迹远离还是靠近原点,都保证较快的收敛速度和较大的鲁棒性.但固定时间收敛控制尚处
于起步阶段,研究成果较少.文[18]采用固定时间控制算法实现导弹对目标的精确打击.
本文首先提出一种新型的固定时间李氏稳定性理论,证明其收敛时间解析式和收敛时间上界.再将其
与 backstepping 控制结合,用于一类存在较大建模误差和快时变外干扰、强非线性的 n 阶非线性系统.进
一步采用非线性干扰观测器对建模误差和外干扰的复合项进行任意小误差精度的估计,并以其输出量设计
控制器中的鲁棒项.相对于传统的控制方法,本文提出方案使被控系统状态具有更强的鲁棒性,更短的收
敛时间,更高的稳态精度.最后将所提控制方案应用于倒立摆抗扰控制实验中,与经典 PID 控制、有限时
间控制、文[18]中固定时间控制进行对比,结果表明本文提出控制方法在鲁棒性、控制精度和收敛时间有
进一步的提高.
1 问题陈述
在现有的 backstepping 控制中,每一层子系统被控量多是指数收敛的,因此被控量需要无穷大的时
间才能达到稳定.设在虚拟控制器作用下,子系统被控状态的运动轨迹满足式(1)微分方程,V
1
是被控量构
造的正定函数,a>0 为相关系数:
(1)
对式(1)进行整理得 dV
1
/V
1
=-adt,两边同时积分得到系统轨迹
(2)
由式(2)可知,V
1
(t)从任意初始状态 V
1
(0)≠0 收敛到平衡状态 V
1
(t)=0 的时间均为无穷大.由于在扰动
作用下系统状态在稳态阶段会反复小距离脱离原点,因此基于指数收敛控制器的被控状态会在稳态阶段收
敛极为缓慢,同时也意味着鲁棒性的减小和稳态误差的增大.
有限时间收敛控制的出现很大程度上解决了上述问题,其动态轨迹满足式(3)所示微分方程,其中
V
2
是关于被控量构造的正定函数,a>0,b>0 为设计系数,q 和 p 为正实数且满足 0 < q/p < 1.
(3)
对式(3)变形后有 ,进一步可变形为
(4)
对式(4)两边同时积分得轨迹 V
2
的解析式为
(5)
由式(5)知,系统从任意初始状态 V
2
(0)≠0 到达平衡状态 V
2
=0 的时间为
(6)
从式(6)可以发现对于任意初值 V
2
(0),收敛时间均是有限的,较好地兼顾远离原点和靠近原点两个
阶段的收敛性能.但经典有限时间控制的性能仍存在提升的空间.因此设计收敛时间更短、鲁棒性更强、控
制精度更高的控制器是当前研究的前沿和热点.
2 n 阶非线性系统固定时间收敛控制器的设计
考虑式(7)所示的 n 阶非线性不确定系统,其中 x
i
(i=1,…,n)为系统状态,f
i
(x
1
,x
2
,…,
x
i
)(i=1,…,n)和 g(x
1
,x
2
,…,x
n
)为子系统中已知非线性函数且光滑可导,ρ
n
(x
1
,x
2
,…,x
n
,t)为包
含系统不确定、建模误差和外扰动在内的综合未知项,但其绝对值存在一个未知上界,即|ρ
n
(x
1
,
x
2
,…,x
n
,t)|≤ε
ρ
,ε
ρ
>0 未知,且假设论域内的∀x
i
(i=1,…,n),均有 g(x
1
,x
2
,…,x
n
)≠0.
(7)
由于总是可以通过坐标变换使一个状态跟踪问题转化为跟踪误差系统的镇定问题,所以本文的控制
目标是设计控制器 u 使状态 x
1
以任意小的误差收敛到原点的邻域内.同理,下文只给出 x>0,V>0 的结论
和证明,因为 x < 0,V < 0 的结论和证明只差一个负号,其余完全相同,为避免赘述将其省略.
下面首先给出控制器设计将要用到的引理.
引理 1
[19]
设非线性系统的状态方程为 为未知干扰项,f(x)
和 g(x)为已知系统函数.若设计如式(8)所示的非线性干扰观测器(NDO),其中 P(x)为待设计函数,L>0 为
非线性干扰观测器的系数,它们二者满足 为非线性干扰观测器的内部状态,当满足
时,估计误差 e
NDO
= 渐近稳定,当不满足 ,但 有界时,则可以设计合适的 P(x)使
e
NDO
足够小.
(8)
定理 1 设李氏函数满足式(9),其中 a>0,b>1,q 和 p 为正实数且满足 0 < q/p < 1,有 1) V 从初
始点 V(0)收敛到原点的时间解析式如式(10)所示,且存在一个与初始值 V(0)无关的固定时间上界为
. 2)若参数条件相同,在任意点 V∈(0,V(0))处,式(9)提出的固定时间收敛的收敛速度
快于指数收敛李氏函数 0 和快速有限时间李氏函数 的收敛速度.
(9)
(10)
证明:
1) 式(9)可化为
(11)
将式(11)进一步化为
(12)
对式(12)两边同时积分得
(13)
由式(13)可知当 V(t)=0 时,系统收敛到原点的时间为 ,其存在一个
固定时间上界为 ,当 V(t)收敛到任意小的 ε 时,收敛时间
.
2) 设收敛速度比较函数分别为
对于任意 V∈(0,+∞)成立.而 f
2
(0)=0,其对 V 的导数
,所以 f
2
>0 对任意 V∈(0,+∞)成立.
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