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线性时滞系统稳定性最新研究综述.docx
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0 引言
由于信号测量及其传递过程需要一定的时间,所以时滞是工程实际中广泛存在的一种现象
[1]
.无论是
在工程学和物理学中,还是在生物学和经济学中,大量的系统均可以建模成时滞系统进行分析研究
[2-3]
.因
此,时滞系统的研究具有十分重要的理论意义与实际应用价值.近几十年来,时滞系统的研究已经吸引了
国内外众多学者的广泛关注.从本质上来说,时滞系统是一种特殊的无限维系统.它的一个重要特性是,其
状态变化不仅依赖于当前的状态,也依赖于过去的状态.因而,与无时滞的系统相比,时滞系统具有更加
复杂的动态特性.
毫无疑问,稳定性是时滞系统研究首先需要考虑的问题.时滞的存在,往往会导致系统的控制性能下
降,甚至使原本已经稳定的系统丧失稳定性能.而另一方面,有时在系统中人为引入时滞环节,可以使不
稳定的系统变得稳定
[1]
.因此,时滞系统稳定性研究的一个重要内容是,获得保守性尽可能小的稳定性条
件,从而判定时滞系统在时滞变量变化多大的范围内保持稳定,即求取时滞系统稳定时时滞变量最大的变
化范围
[4-5]
.目前研究线性时滞系统稳定性问题主要有两种途径:一种是频域法
[6-8]
,一种是时域法.针对时
变时滞系统,人们通常采用时域法.在时域法中,相对于 Lyapunov-Razumikhin 泛函方法
[9]
,Lyapunov-
Krasovskii(L-K)泛函方法充分考虑了系统中的时滞信息,通常可以得到保守性更小的判别条件.因此,L-K
泛函方法已经成为目前研究线性时滞系统稳定性问题的一个强有力的工具
[10-12]
.
本文主要讨论式(1)的线性时滞系统(为了控制文章篇幅,这里只讨论连续系统):
(1)
其中,x(t)∈R
n
是状态变量;A 和 A
d
是系统矩阵;φ(θ)是初始条件;时滞变量 h(t)满足约束条件:
(2)
其中,h
M
,d
m
和 d
M
为已知标量.这里的时滞变量 h(t)满足的约束条件(2)是目前文献中研究较多的一
种情况,即在 h(t)一定时间范围里变化且其变化速率的上下限已知.其实还存在其它情况的约束条件,如时
滞变量 h(t)变化下限不为 0,时滞变量 h(t)变化速率上下限均不可知或部分可知.这些约束条件的情况这里
不去讨论,感兴趣的读者可以参考文[13-14].另外,对于其它类型的时滞系统(如定常时滞系统,多时滞系
统等),这里也不加以讨论.
为了研究时滞系统(1)稳定性,目前文献中构造的 L-K 泛函通常包含积分项
[3, 15]
:
![](https://csdnimg.cn/release/download_crawler_static/86893922/bg2.jpg)
其中,Q
1
、Q
2
和 R 是待定的正定矩阵.将 V
1
(t)对时间求导后会出现积分项:
(3)
直接根据 δ(t)无法推导出具有线性矩阵不等式(linear matrix inequality,LMI)形式的稳定性条件.因
此,如何进一步处理该积分项 δ(t),成为获得松弛稳定性条件的关键.早期人们通常采用交叉项技术(如
Park 不等式
[16]
和 Moon 不等式
[10]
)和模型转换技术
[11, 17]
.然而,基于前者技术得到的稳定性条件通常具有
较大的保守性;基于后者技术,一方面存在需要进行模型转换的麻烦,另一方面存在转换后的模型不一定
等价于原模型的不足.针对上述问题,文[18-21]提出了自由权矩阵技术.该技术基于 Newton-Leibniz 公式,
通过引入一些自由变量构造零等式,并将零等式加到 L-K 泛函的导数中去,从而成功地避开了应用交叉项
和模型转换技术时遇到的麻烦,有效地降低了所获稳定性条件的保守性.需要注意的是,在应用自由权矩
阵技术构造零等式时容易引入过多的自由变量,这些变量对于降低保守性不起任何作用,反而会增加求解
LMI 的计算负担.
目前人们在处理积分项时广泛采用的是积分不等式方法
[1, 15]
.该方法直接对积分项 δ(t)进行缩放,实
现了从向量乘积的积分到向量积分的乘积转换.在众多积分不等式中,Jensen 不等式是提出最早、应用也
最为广泛的不等式
[1]
.若将其应用于积分项 δ(t),则有:
(4)
从式(4)可以看出,积分项 δ(t)的下界估值由状态向量的端点 x(t)和 x(t-h
M
)表示,据此不难得到具有
LMI 形式的稳定性条件.为了克服 Jensen 不等式固有的保守性
[22]
,2013 年 Seuret 等基于 Wirtinger 不等
式提出了 Wirtinger-based 积分不等式
[15]
,该积分不等式给出了比 Jensen 积分不等式更加精确的边界估
值.紧接着,2015 年 Seuret 等又提出了比 Jensen 求和不等式更加精确的 Wirtinger-based 求和不等式
[23]
.
Wirtinger-based 积分/求和不等式的相继提出,激发了国内外学者研究线性时滞系统稳定性问题的热情,
有力地推动了积分/求和不等式理论的发展.短短几年时间,新的积分/求和不等式不断被提出,如 Bessel-
Legendre 不等式
[24]
、Auxiliary-function-based 不等式
[25-28]
、Free-matrix-based 不等式
[29-32]
、联合
(Combined)积分不等式
[33]
、Wirtinger-based 二重积分不等式
[34]
、Abel lemma-based 不等式
[35]
等.通过深
入研究发现,这些不等式虽然各自基于不同的角度提出,证明过程也是多种多样,但它们之间存在紧密的
内在关联性,并且可以纳入到同一个积分/求和不等式理论框架中
[27-28]
.
另一方面,虽然建立起来的不等式对于积分项给出的边界估值越来越精确,但是如果 L-K 泛函构造
不合适,所获得稳定性条件的保守性不会得到明显的降低,甚至不降低
[36-37]
.文[37]已经证明,如果采用简
单的 L-K 泛函(没有进行状态变量扩展),基于 Wirtinger-based 积分不等式所获得的稳定性条件等价于基
于 Jensen 不等式所获得的稳定性条件,即这两个条件具有相同的保守性.由此可见,构造一个合适的 L-K
泛函是分析线性时滞系统稳定性的首要任务,是获得松弛稳定性条件的前提条件.传统的 L-K 泛函一般包
含有二次函数项,1 重积分项和 2 重积分项
[38-42]
.当 L-K 泛函导数中出现 1 重积分项时,可以采用交叉项
技术、自由权矩阵技术或直接采用 Jensen 不等式进行处理,最终获得具有 LMI 形式的稳定性条件.为了
配合 Wirtinger-based 积分不等式的使用,文[10]对传统 L-K 泛函中二次函数项的状态向量进行了增广,
扩充了具有状态滞后的状态向量和一重积分项,从而构造了具有增广向量的 L-K 泛函.
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此后,为了配合其它不等式的使用,陆续提出了其它类型的具有增广向量的 L-K 泛函
[43-48]
.值得一提
的是,不同于针对二次函数项进行向量增广,Zhang 等在文[36]中提出了一重积分项具有增广向量的 L-K
泛函.在该 L-K 泛函中,1 重积分项中的被积向量不再是简单的即时状态向量,而是包含了即时状态向量、
滞后状态向量、1 重积分项和 1 重积分项等元素的增广向量.由于包含了更多的状态变量信息和时滞变量信
息,具有增广向量的 L-K1 泛函能有效地降低稳定性条件的保守性.除了上述具有增广向量的 L-K 泛函,最
近文献中还提出了其它一些比较新颖的 L-K1 泛函,如,受到自由权矩阵思想的启发,Lee 等在文[49]中
构造了称之为 Matrix-refined 的 L-K 泛函.该 L-K 泛函不需要其中的二次函数矩阵 P 为正定阵,解放了传
统 L-K 泛函对矩阵 P 必须是正定阵的约束. Zhang 等通过对 L-K 泛函在减小稳定性条件保守性过程中所起
的作用进行分析,提出了 Delay-product L-K 泛函
[37]
.此外,Chen 等在文[36]的基础上,提出了积分互补
的 L-K 泛函
[50]
.
总的来说,对于时滞系统(1),为了获得更为松弛的稳定性判别条件,主要从 2 个方面入手:一是采
用边界估值更加精确的积分不等式;二是构造合适的 L-K 泛函,充分利用系统本身所提供的状态信息和时
滞信息.本文将从这两个方面出发回顾近几年线性时滞系统稳定性研究的最新成果,阐述不断发展的 L-K
泛函方法.
本文所用符号:N 代表非负整数集;N
+
代表正整数集;R
n
代表 n 维实数向量集;R
n×m
代表 n×m 维
实矩阵集;S
n
代表 n×n 维实对称矩阵集;S
+
n
代表 n×n 维实对称正定矩阵集; 表示二
次项系数;对于方阵 X,定义 Sym{X}:=X+X
T
.
1 积分不等式
积分不等式是目前控制领域的研究热点之一,国内外许多学者已经投身其中
[51-62]
.引领这场研究热潮
的领军人物当数法国学者 Seuret. 2013 年,他和 Gouaisbaut 在文[15]中提出了比 Jensen 不等式更精确
的 Wirtinger-based 积分不等式.而积极推动这场研究热潮的另一位标志性人物是韩国学者 Park.他于 2015
年提出了基于辅助函数的积分不等式
[25]
(Auxiliary-function-based 积分不等式).该类不等式不仅包含 1 重积
分不等式,还包含了 2 重积分不等式,从而拓宽了研究积分不等式的思路.受此思想启发,新的更加精确
的 1 重、2 重及多重积分不等式不断地被建立起来.下面我们回顾一下具有代表性的积分不等式.
1.1 1 重和 2 重积分不等式
引理 1 对于矩阵 R∈S
+
n
及可微向量函数 x(t):[a,b]→R
n
,积分不等式(5)~(7)成立:
(5)
(6)
(7)
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其中,
由于 R 为正定矩阵,因而容易看出,Wirtinger-based 不等式(6)给出的边界估值精确于 Jensen 不等
式(5)给出的边界估值,而 Auxiliary-function-based 不等式(7)给出的边界估值精确于 Wirtinger-based 不
等式(6)给出的边界估值.值得注意的是,这 3 个不等式虽然表现形式上相似,但构造过程却各不相同.
Jensen 不等式是基于 Schur 补得到的;Wirtinger-based 积分不等式是基于 Wirtinger 不等式构造出来,
证明过程稍显复杂冗长;而 Auxiliary-function-based 不等式是基于辅助函数(或辅助多项式)建立起来的.
除了 1 重积分不等式(7),Park 等根据辅助函数还建立起了 2 重积分不等式
[25]
:
引理 2 对于矩阵 R∈S
+
n
及可微向量函数 x(t):[a,b]→R
n
,积分不等式:
(8)
(9)
成立,其中,
当积分重数为两次或两次以上时,积分不等式将出现上积分(如式(8)所示)和下积分(如(9)所示)两种
形式.这两种类型的积分不等式可以相互转化.
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