考研数学（二）必背公式总结资源-CSDN文库

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数二必背公式

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高数必背公式.pdf 1.66MB

线代必背 10 页纸——考研数学 777

线代必背 10 页纸—考研数学 777

公式的总结没有尽头，过于详细或过于简略都不是最佳选择；本篇背诵宝典不是书本中定理概念的堆砌，

而是删去过于常用和简单的公式和过于书面严谨的定理表达，真正选择考试的核心精华必记结论，才能

成为大家上考场前的必背

页纸。更为详细的题型总结、方法归纳、细致讲解请回归线代专题课讲义。

一、行列式、伴随、逆的公式 .......................................................................................................................... 1

二、

阶矩阵的伴随——主对调，副反号，得伴随

......................................................................................1

三、



ij ij

a A

结论

...............................................................................................................................................1

四、初等矩阵的逆与行列式 .............................................................................................................................. 2

五、初等行变换

...................................................................................................................................................2

六、 A 可逆 ........................................................................................................................................................... 2

七、矩阵的秩

.......................................................................................................................................................2

八、 r（A）与 r（A*） ........................................................................................................................................ 3

九、秩

矩阵

αβ

...................................................................................................................................... 3

十、列满秩、行满秩结论

.................................................................................................................................. 3

十一、分块矩阵 ...................................................................................................................................................3

十二、线性相关性总结

...................................................................................................................................... 5

十三、 AB=0 ，AB=C， AB=E 结论 ....................................................................................................................6

十四、

AB=BA

总结

...............................................................................................................................................6

十五、方程组解的判定 ...................................................................................................................................... 7

十六、同解

...........................................................................................................................................................7

十七、若 Ax=0 的解均是 Bx=0 的解 .................................................................................................................. 7

十八、同解方程组

...............................................................................................................................................8

十九、正交矩阵 ...................................................................................................................................................8

二十、反对称矩阵

=-A ................................................................................................................................. 8

二十一、

1 T

A , A



 

A , A+kE

的特征值与特征向量 ....................................................................................... 8

二十二、判断 A 是否可以相似对角化/判断 A、B 相似 ..................................................................................8

二十三、普通矩阵与实对称矩阵

...................................................................................................................... 9

二十四、施密特正交化 ...................................................................................................................................... 9

二十五、相似合同等价

....

.............................................................................................................................. 9

二十六、二次型 keywords................................................................................................................................ 10

二十七、二次型设问

........................................................................................................................................ 10

二十八、正定二次型 ........................................................................................................................................ 10

二十九、二次型的几何应用

(

数一

) ..................................................................................................................10

线代必背 10 页纸——考研数学 777

一、行列式、伴随、逆的公式

二、2 阶矩阵的伴随——主对调，副反号，得伴随

a b

c d

 



 

 

d b

c a



 



 



 

| |

d b

c a



 



 



 

（注意：主对调副反号口诀得到的是伴随，不是逆，逆矩阵还需乘

）

三、



ij ij

a A

结论

设

是

阶非零矩阵，则

 

T T

ij ij

a A A A A EA A A    正交

 

1=-

T T

ij ij

a A A A A E A AA       正交

【余子式】

：

| |A

中去掉第

行第

列元素后的

1n 

阶子式

【代数余子式】

: ( 1)

i j

ij ij ij

A A M



 

行列式

穿脱原则

A k A

A A





T T T

* * *

-1 -1 -1

AB B A



（）

伴随矩阵

换位思考

* -1

* n-1 *

n-2

* *

A A A

AA A E

kA k A

A A A



（）

* -1 -1 *

-1 T T -1

T * * T

A A



（）（）

（）=（）

（）（）

逆矩阵

加法拆开

-1

1 1

n -1 -1 n

( )

A A

kA A

 



（）（）

T T T

-1

A B A B

A B

  

 

（）

（）不能拆开

7.k 家族

 

-1 -1

* n-1 *

kA k A

kA =kA

kA A

kA k A



（）

线代必背 10 页纸——考研数学 777

四、初等矩阵的逆与行列式

矩阵意义逆行列式

对调

交换第

行与第

行

(

或交换第

列与第

列

)

 

ij ij



E E

i j

 E

倍乘

( )

第

行

(

或第

列

)

乘以非零常数

 

( ) ( )

i i



E E

( )

kk E

倍加

( )

第

行的

倍加到第

行

(

或第

列的

倍加到第

列

)

 

( ) ( )

ij ij

k k



 E E

1( )

k E

注：常见讲义对于

( )

的解释有所不同，第

行的

倍加到第

行与第

行的

倍加到第

行均可，只

是一个记号，但需记住，当你选定一种记法，就须“从一而终”。

五、初等行变换

初等行变换不改变列向量组的线性关系

初等列变换不改变行向量组的线性关系

初等行变换，A 与 B 的行向量组等价

六、A 可逆

nxn

可逆

①

�

≠0

②r(A)=n （A 满秩）

③Ax=0 只有零解

④Ax=

有唯一解

⑤A 的特征值没有 0

⑥A 与单位矩阵等价

⑦A 可仅经过初等行变换化为 E

⑧A 可仅经过初等列变换化为 E

⑨A 可以分解为若干个初等矩阵的乘积

七、矩阵的秩

①

（

）≤

min{r

（

），

（

）

}

越乘越小

② r（A，B）≥ r（A）越拼越大

③

（

）≤

（

）

（

）分开加最大

④ r（A）=r（A

）=r（AA

）=r（A

A）乘转置不变秩

⑤ 若

AB=0

，则

（

）

（

）≤

n n

为

的列数，

的行数

⑥ 若

P,Q

可逆，则

（

PAQ

）

（

）乘可逆阵不变秩

[进阶！] 左乘列满秩，不变秩 r（PA）=r（A）要求 P 列满秩

右乘行满秩，不变秩 r（AB）=r（A）要求 B 行满秩

【两条路径】①

（

）≤

（

）≤

（

，

）≤

（

）

（

）

②r（A±B）≤r（A，B）≤r（A）+r（B）

线代必背 10 页纸——考研数学 777

八、r（A）与 r（A*）

九、秩 1 矩阵 A=

αβ

 

 

 

 

（1）特征值：0，0，...，0，迹

（

）特征向量：迹对应的特征向量是



（

的一列）

（3）可以相似对角化条件



tr（A）≠0

（

）

次幂：

An=[tr

（

）

]

n-1

（5）1 列乘 1 行：抄第一列，看倍数

十、列满秩、行满秩结论

十一、分块矩阵

1.行列式

A C A 0

A B

O B C B

 

（A：m阶 B：n阶）

 

0 A C A

1 A B

B C B 0

  

2.转置

“大转小也转”

T T

A ,B

 

 

 

（= ）

T T

A B

A C

C D

B D

 

 

 

3.逆



 



 

 

记忆：主对角线：不用换序，直接添逆

1.A

mxn

列满秩（1）[秩]

（2）[左乘列满秩]

（

）

[

左消去律

]

r（A）=n，A 的列向量组线性无关

左乘列满秩，不变秩 r(AB)=r(B)

若

AB=AC

，则

B=C

（4）[齐次] AX=0 仅有零解

（

）

[

同解

]

（6）[三秩相等]

ABX=0

与

BX=0

同解

   

r B r AB r

 

 

 

 

（

）

[

行组等价

] B

的行向量组与

的行向量组等价

2.A

mxn

行满秩（1）[秩]

（2）[右乘行满秩]

（

）

[

右消去律

]

（

）

[

非齐

]

（4）[同解]

r（A）=m，A 的行向量组线性无关

右乘行满秩，不变秩 r(BA)=r(B)

若

BA=CA

，则

B=C

Ax=b

有解

m=r

（

）≤

（

，

）≤

T T

A B x=0

与

B x=0

同解

( )

r ) 1 ( ) -1

0 ( ) -1

n r A n

A r A n

r A n







 







时

（时

＜时

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