### 东北林业大学《概率论与数理统计及微分方程》2020年考研复试大纲解析 #### 概率论与数理统计部分 **一、事件与概率** 1. **随机事件和样本空间**:随机事件是指在一定条件下可能发生也可能不发生的事件,而样本空间则是指所有可能结果的集合。 2. **概率与频率**:概率是对事件发生的可能性大小的一种度量,而频率是事件发生的次数与试验总次数的比例。 3. **古典概率**:在所有可能结果等可能的情况下计算的概率,适用于简单随机现象。 4. **概率的公理化定义及概率的性质**:概率的公理化定义是现代概率论的基础,包括三个基本公理:非负性、归一性和可加性。 5. **条件概率、全概率公式和贝叶斯公式**:条件概率是在已知某事件发生的情况下另一事件发生的概率。全概率公式是将复杂事件的概率分解为多个简单事件概率之和的方法。贝叶斯公式则用于在已知某个结果的前提下推断原因发生的概率。 6. **独立性**:两个事件相互独立是指一个事件的发生不会影响另一个事件发生的概率。 7. **贝努利概型**:是一种特殊的独立重复试验模型,每次试验只有两种结果。 **二、离散型随机变量** 1. **一维随机变量及分布列**:随机变量是样本空间到实数集的映射,其取值的概率称为分布列。 2. **多维随机变量、联合分布列和边际分布列**:对于两个或多个随机变量,它们的分布称为联合分布,而单个随机变量的分布称为边际分布。 3. **随机变量函数的分布列**:即给定随机变量的一个函数的分布列。 4. **数学期望的定义及性质**:数学期望是随机变量长期平均值的理想化表达。 5. **方差的定义及性质**:方差衡量随机变量与其均值之间的偏离程度。 6. **条件分布与条件数学期望**:条件分布是在已知某些信息下的分布,条件数学期望是在这些信息下期望值的计算。 **三、连续型随机变量** 1. **随机变量及分布函数**:连续型随机变量的分布用分布函数表示。 2. **连续型随机变量**:连续型随机变量可以取无限多个值。 3. **多维随机变量及其分布**:两个或多个连续型随机变量的联合分布。 4. **随机变量函数的分布**:给定连续型随机变量的一个函数的分布。 5. **随机变量的数字特征、切贝雪夫不等式**:数字特征如期望、方差等,切贝雪夫不等式是关于随机变量与期望值偏差的概率上界。 6. **条件分布与条件期望**:条件分布与条件期望的概念。 7. **特征函数**:特征函数是概率分布的一种变换形式,用于分析随机变量的性质。 **四、大数定律与中心极限定理** 1. **大数定律**:描述了随着试验次数增加,样本均值趋近于总体均值的现象。 2. **随机变量序列的两种收敛性**:几乎处处收敛和依概率收敛。 3. **中心极限定理**:描述了当独立同分布的随机变量序列求和时,其标准化后的和趋向于正态分布。 **五、数理统计的基本概念** 1. **母体与子样、经验分布函数**:母体是指研究对象全体,子样是从母体中抽取的部分个体,经验分布函数是对子样的统计描述。 2. **统计量及其分布**:统计量是子样的函数,用于估计母体参数。 **六、点估计** 1. **矩法估计**:通过子样的矩来估计母体参数的方法。 2. **极大似然估计**:基于似然函数寻找最优参数估计值的方法。 3. **估计的有效性**:评估估计量性能的标准之一。 #### 常微分方程部分 **一、初等积分法** 1. **变量可分离方程解法**:适用于变量可以分离的一阶微分方程。 2. **常数变易法**:一种求解特定类型微分方程的方法。 3. **全微分方程解法**:包括寻找积分因子等方法。 4. **参数法和降阶法**:适用于特定类型的微分方程。 **二、基本定理** 1. **解的存在唯一性及延展定理**:描述了在满足一定条件下,微分方程解的存在性和唯一性。 2. **奇解的求法**:非常规解,通常需要特殊处理。 **三、一阶线性微分方程组** 1. **线性微分方程组解的结构,通解基本定理**:描述了解的形式和性质。 2. **常数变易法和刘维尔公式**:求解线性微分方程组的方法。 3. **常系数线性微分方程组的解法**:适用于特定类型的线性微分方程组。 **四、n阶线性微分方程** 1. **n阶线性微分方程解的结构,通解基本定理**:描述了解的形式和性质。 2. **常数变易法和刘维尔公式**:求解n阶线性微分方程的方法。 3. **n阶线性常系数微分方程的解法**:适用于特定类型的n阶线性微分方程。 该复试大纲涵盖了概率论与数理统计以及常微分方程的基本概念、理论和方法,旨在考察考生对这些基础知识的理解和应用能力。考生需熟练掌握大纲中的各个知识点,并能够运用所学解决实际问题。
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