假设普通人患艾滋病的概率为0.0015，艾滋病患者检验呈阳性的概率为0.98，非艾滋病患者检验呈阴性的概率为0.96。现在某人体检结果呈阳性，问此人患艾滋病的概率是多少？
某机床厂加工一种零件，根据经验知道，以前加工零件的椭圆度近似服从正态分布，其总体均值为`X0=0.081mm，总体标准差为=0.025 。今换一种新机床进行加工，抽取n=200个零件进行检验，得到的椭圆度均值为0.0785mm。试问新机床加工零件的椭圆度均值与以前有无显著差异？（a＝0.05）
请简述假设检验的步骤，并就z检验和t检验的使用场合进行比较说明。
一种袋装食品每包的标准重量应为1000克。现从生产的一批产品中随机抽取16袋，测得其平均重量为985克。已知这种产品重量服从标准差为50克的正态分布。试用置信区间方法确定这批产品的包装重量是否合格？(α= 0.05)
一个汽车轮胎制造商声称，某一等级的轮胎的平均寿命在一定的汽车重量和正常行驶条件下大于40000公里，对一个由20个轮胎组成的随机样本作了试验，测得平均值为41000公里，标准差为5200公里。已知轮胎寿命的公里数服从正态分布，我们能否根据这些数据
### 应用统计学常考题目详解
#### 一、艾滋病检测阳性情况下的患病概率
题目描述：假设普通人患艾滋病的概率为0.0015，艾滋病患者检验呈阳性的概率为0.98，非艾滋病患者检验呈阴性的概率为0.96。现在某人体检结果呈阳性，问此人患艾滋病的概率是多少？
**解析：**
此类问题可通过贝叶斯定理解决。
1. **定义事件：**
- A：某人患有艾滋病。
- B：检测结果为阳性。
- \(P(A)\)：某人患有艾滋病的概率 = 0.0015。
- \(P(B|A)\)：某人患有艾滋病且检测结果为阳性的概率 = 0.98。
- \(P(\overline{B}| \overline{A})\)：某人未患有艾滋病且检测结果为阴性的概率 = 0.96，因此，\(P(B|\overline{A}) = 1 - 0.96 = 0.04\)。
- \(P(\overline{A})\)：某人未患有艾滋病的概率 = 1 - 0.0015 = 0.9985。
2. **应用贝叶斯定理：**
- 要求的是：\(P(A|B)\) —— 给定某人检测结果为阳性的情况下，此人患有艾滋病的概率。
\[
P(A|B) = \frac{P(B|A) \cdot P(A)}{P(B)}
\]
- \(P(B)\)可以通过全概率公式计算：
\[
P(B) = P(B|A) \cdot P(A) + P(B|\overline{A}) \cdot P(\overline{A})
\]
3. **计算：**
\[
P(B) = (0.98 \times 0.0015) + (0.04 \times 0.9985) = 0.00147 + 0.03994 = 0.04141
\]
\[
P(A|B) = \frac{(0.98 \times 0.0015)}{0.04141} = \frac{0.00147}{0.04141} ≈ 0.0355
\]
因此，某人体检结果呈阳性时，此人患有艾滋病的概率约为0.0355或3.55%。
#### 二、新旧机床加工零件椭圆度的显著性差异
题目描述：某机床厂加工一种零件，根据经验知道，以前加工零件的椭圆度近似服从正态分布，其总体均值为\(X_0=0.081mm\)，总体标准差为\(\sigma=0.025mm\)。今换一种新机床进行加工，抽取\(n=200\)个零件进行检验，得到的椭圆度均值为0.0785mm。试问新机床加工零件的椭圆度均值与以前有无显著差异？（\(\alpha=0.05\)）
**解析：**
1. **建立假设：**
- \(H_0: \mu = 0.081\)
- \(H_1: \mu \neq 0.081\)
2. **选择检验统计量：**由于总体标准差已知，可以选择Z检验。
\[
Z = \frac{\bar{x} - \mu_0}{\sigma/\sqrt{n}}
\]
- \(\bar{x} = 0.0785mm\)
- \(\mu_0 = 0.081mm\)
- \(\sigma = 0.025mm\)
- \(n = 200\)
3. **计算Z值：**
\[
Z = \frac{0.0785 - 0.081}{0.025/\sqrt{200}} = \frac{-0.0025}{0.025/14.142} = \frac{-0.0025}{0.001768}
\]
\[
Z ≈ -1.414
\]
4. **确定拒绝域：**
- 由于采用双尾检验，拒绝域为\(Z < -1.96\) 或 \(Z > 1.96\)。
- 计算得到的Z值为-1.414，落在接受区域内。
5. **结论：**
- 在\(\alpha=0.05\)的显著性水平下，没有足够的证据拒绝原假设。
- 因此，可以认为新机床加工零件的椭圆度均值与之前无显著差异。
#### 三、假设检验的步骤与Z检验和T检验的比较
**假设检验步骤：**
1. **建立假设：**
- \(H_0\)（原假设）：通常表示没有差异或没有变化。
- \(H_1\)（备择假设）：表示存在差异或变化。
2. **选择检验统计量：**
- 根据问题类型和数据特征选择合适的检验统计量（如Z统计量、T统计量等）。
3. **确定显著性水平\(\alpha\)：**
- 通常取值为0.05或0.01。
4. **计算检验统计量的值：**
- 使用样本数据计算检验统计量的实际值。
5. **作出决策：**
- 将计算得到的检验统计量值与临界值进行比较，决定是否拒绝原假设。
**Z检验与T检验的区别：**
1. **Z检验：**
- 适用于大样本（通常\(n > 30\)）的情况。
- 当总体标准差已知时，用于检验样本均值是否等于某个特定值。
- 使用标准正态分布作为参照。
2. **T检验：**
- 适用于小样本（通常\(n < 30\)）或总体标准差未知的情况。
- 用于检验样本均值是否等于某个特定值，或两个样本均值是否有显著差异。
- 使用t分布作为参照。
#### 四、袋装食品重量的置信区间
题目描述：一种袋装食品每包的标准重量应为1000克。现从生产的一批产品中随机抽取16袋，测得其平均重量为985克。已知这种产品重量服从标准差为50克的正态分布。试用置信区间方法确定这批产品的包装重量是否合格？(\(\alpha= 0.05\))
**解析：**
1. **建立假设：**
- \(H_0: \mu = 1000\)
- \(H_1: \mu \neq 1000\)
2. **选择检验统计量：**由于总体标准差已知，选择Z检验。
\[
Z = \frac{\bar{x} - \mu_0}{\sigma/\sqrt{n}}
\]
3. **计算Z值：**
- \(\bar{x} = 985\)
- \(\mu_0 = 1000\)
- \(\sigma = 50\)
- \(n = 16\)
\[
Z = \frac{985 - 1000}{50/\sqrt{16}} = \frac{-15}{50/4} = -1.2
\]
4. **计算置信区间：**
- 采用\(1 - \alpha = 0.95\)的置信水平，查标准正态分布表得到\(Z_{0.025} = 1.96\)。
- 置信区间为\([\bar{x} - Z_{\alpha/2}\sigma/\sqrt{n}, \bar{x} + Z_{\alpha/2}\sigma/\sqrt{n}]\)。
- \([985 - 1.96 \times 50/4, 985 + 1.96 \times 50/4] = [960.5, 1009.5]\)。
5. **结论：**
- 由于标准重量1000克落在置信区间\[960.5, 1009.5\]内，没有足够的证据拒绝原假设。
- 因此，可以认为这批产品的包装重量符合标准。
#### 五、轮胎寿命的假设检验
题目描述：一个汽车轮胎制造商声称，某一等级的轮胎的平均寿命在一定的汽车重量和正常行驶条件下大于40000公里，对一个由20个轮胎组成的随机样本作了试验，测得平均值为41000公里，标准差为5200公里。已知轮胎寿命的公里数服从正态分布，我们能否根据这些数据作出结论，该制造商的产品同他所说的标准相符？(\(\alpha=0.05\))
**解析：**
1. **建立假设：**
- \(H_0: \mu \leq 40000\)
- \(H_1: \mu > 40000\)
2. **选择检验统计量：**由于总体标准差未知，选择T检验。
\[
T = \frac{\bar{x} - \mu_0}{s/\sqrt{n}}
\]
3. **计算T值：**
- \(\bar{x} = 41000\)
- \(\mu_0 = 40000\)
- \(s = 5200\)
- \(n = 20\)
\[
T = \frac{41000 - 40000}{5200/\sqrt{20}} = \frac{1000}{5200/4.472} = \frac{1000}{1192.3} ≈ 0.84
\]
4. **确定拒绝域：**
- 查t分布表，自由度为\(n - 1 = 19\)，显著性水平为0.05，单尾检验。
- 拒绝域为\(T > t_{0.05,19}\)。
5. **结论：**
- 由于计算得到的T值小于查表得到的临界值，没有足够的证据拒绝原假设。
- 因此，不能得出该制造商的产品平均寿命大于40000公里的结论。
