数字信号处理第二章Z变换

《数字信号处理——深入解析Z变换》 Z变换作为数字信号处理中的重要工具，与傅里叶变换和拉普拉斯变换有着密切的关系。本篇主要围绕Z变换的定义、Z变换与拉氏变换及傅里叶变换之间的联系，以及Z变换的收敛域展开讨论。 Z变换的定义是离散信号nx的积分形式，它将信号从时间域转换到复频域。双边Z变换适用于所有n值，而单边Z变换则仅针对非负n值，这是因为实际物理信号的因果性。通过拉普拉斯变换，我们可以看到Z变换实际上是对抽样信号进行傅里叶变换，并通过s到z的映射实现的。这个映射关系中，s平面上的实轴对应于z平面上单位圆，而s平面上的左半平面映射到单位圆内，右半平面映射到单位圆外，体现了采样信号的周期性。 Z变换与傅里叶变换和拉普拉斯变换之间的关系进一步揭示了它们在不同领域的应用特点。Z变换可以视为序列乘以一实加权序列后的傅里叶变换，当权重系数为1时，Z变换即为离散时间傅里叶变换(DTFT)。此外，Z变换的收敛域是确定其有效性的关键，只有当Z变换在特定区域内收敛时，其结果才具有物理意义。 Z变换的收敛域是由序列nx的性质决定的，通常表现为一个圆的内部或外部。序列被非负实序列nr加权后，当r大于1时，序列是衰减的，Z变换收敛；反之，当r小于1时，序列增长，Z变换可能发散。因此，Z变换的收敛域是由序列的绝对可和性决定的，且其形状决定了傅里叶变换的存在性。例如，对于一些常见的离散序列，如阶跃函数、冲激函数或指数序列，它们的Z变换收敛域各有特点，需要具体分析。 总结来说，Z变换是数字信号处理中的核心概念，它不仅连接了离散信号与连续信号的处理，还提供了分析因果性和稳定性的重要手段。理解Z变换的定义、性质及其与傅里叶变换、拉普拉斯变换的关系，对于深入掌握数字信号处理的理论和应用至关重要。在实际工程问题中，掌握Z变换的收敛域判断方法，能够帮助我们更准确地分析和设计数字信号处理系统。