【厦门大学《高等数学A》期中试卷知识点详解】
高等数学是理工科学生的基础课程，主要涵盖极限、微积分、多元函数、级数、微分方程等方面的内容。本试卷涉及的知识点包括极限理论、导数与微分、隐函数求导、泰勒公式以及连续性和介值定理。下面是对试卷部分内容的详细解析：
一、填空题
1. 极限问题：题目考察了极限的存在性与求解方法。当\( x \)趋向于无穷大时，\(\sin(\frac{1}{x})\)趋近于0，因此答案是2。
2. 同理，利用\( \ln(n)/n \)在\( n \)趋向无穷大时的极限性质，可以得出答案为1。
3. 已知\( f(x) = 3 + 2x \)，求\( f'(0) \)即在\( x = 0 \)处的导数值，答案是\( 2 \cdot (1)' = 2 \)。
4. 求偏导数，根据\( \arctan(x) \)的导数规则和乘积法则，可以得到答案为\( \frac{\pi}{4} \)。
5. 这是一道关于函数连续性的题目，若\( f(x) \)在\( x=0 \)处连续，且有\( f(x) = \begin{cases} 0 & x < 0 \\ a & x = 0 \\ 2\arcsin(\frac{1}{2\tan(3x)}) & x > 0 \end{cases} \)，则\( a \)应使得函数在\( x=0 \)处的左右极限相等，即\( a = 6 - \pi \)。
二、单项选择题
1. 选择题考察了函数的间断点类型，根据函数解析式判断其在特定点的极限和定义，确定间断点的种类，答案是A。
2. 等价无穷小的问题，要求\( k \)使得\( \frac{k\sin(x)}{x^2} \)与\( \frac{\arcsin(1-x)}{x} \)在\( x \to 0 \)时等价，答案是B。
3. 隐函数求导，利用链式法则和偏导数，得到答案是A。
4. 考察导数的极限性质，D选项正确，当函数的导数的极限存在且为正无穷时，函数本身的极限也为正无穷。
5. 函数增量与导数的关系，根据微分中值定理，答案是B。
三、计算题
这部分涉及极限计算、导数求解、泰勒展开等内容，具体解答如下：
1. 计算极限\( \lim_{x \to 0^-} \frac{\cot(x)}{x} \)，答案是-1。
2. 计算复合函数的极限，答案是\( -\frac{1}{3} \)。
3. 利用洛必达法则求解极限，得到\( f'(x) \)的表达式。
4. 求\( f''(x) \)，利用二阶导数公式，答案为\( -\sin(x) - \cos(x) \)。
5. 利用导数的定义求导，得到\( f'(0) \)的值。
四、应用题
1. 利用微分方程和高阶无穷小，求出曲线的切线方程。
2. 根据经济学中的需求与收益函数，结合弹性理论，求解价格和需求量。
五、证明题
1. 利用极限与连续性的关系，证明函数有界。
2. 应用介值定理，证明存在这样的\( \xi \)满足条件。
以上就是试卷中的主要知识点和解题思路，高等数学的学习需要扎实的理论基础和灵活的解题技巧，对于学生的逻辑思维能力和抽象思维能力有着较高的要求。通过这样的练习，学生可以深化对数学概念的理解，并提高解决实际问题的能力。
