厦门大学《概率轮与数理统计》期中期末复习试卷.pdf

概率论与数理统计是一门研究随机现象统计规律性的数学学科，它在计算机科学、经济学、自然科学等领域有广泛应用。以下是对试卷中涉及的知识点的详细解释： 1. **加法运算中的取整误差**：当计算机进行加法运算时，如果对每个加数取整，误差服从(-0.5, 0.5)上的均匀分布。这是离散随机变量的一个实例，可以利用中心极限定理或大数定律来分析误差总和。问题（1）涉及计算误差总和绝对值超过特定值的概率，而问题（2）则需要找到使得误差总和绝对值小于某个值的概率达到0.9所需的加法次数。 2. **泊松分布**：总体X服从参数为λ的泊松分布，泊松分布常用来描述单位时间内随机事件发生的次数。样本和的期望值E(X)等于λ，样本和的方差D(X)也等于λ。样本均值的平方S^2是总体方差的无偏估计量。问题（1）和（2）分别求的是样本均值的期望和样本和的方差；问题（3）是求总体方差的矩估计量，即2S/n；问题（4）是求λ的矩估计量，可以通过求样本均值的平方得到。 3. **样本均值的无偏估计**：对于同一总体X的样本，样本均值123,,XXX是总体均值θ的无偏估计。问题（1）中121231231111(),3442XXXXXXθθθ=+=+=+，证明了它们是θ的无偏估计量。问题（2）比较了两种估计量的有效性，通常情况下，样本均值的方差较小，因此更有效。 4. **正态分布**：总体X服从均值为μ、方差为σ²的正态分布。两个样本1X和2X的和与差不相关，但并不意味着它们独立。问题（1）证明了12XX+和12XX-的不相关性，并通过这个性质判断它们的独立性；问题（2）求的是212212()()XXYXX+=+的分布，可以使用正态分布的性质来解决。 5. **β分布**：总体X的分布函数是β分布，未知参数为β。样本12...nXXX是简单随机样本。问题（1）求β的矩估计，可以通过计算样本矩与总体矩的关系得到；问题（2）求β的极大似然估计量，需要构造似然函数并求其最大值。 6. **置信区间的计算**：问题（1）要求寿命均值的置信下限，可利用正态分布的性质和t分布的临界值来求解。问题（2）涉及到两个独立样本的方差比的置信区间，需要用到F分布和F分布的临界值。 7. **假设检验**：此问题涉及的是一个单样本t检验，检验总体均值是否为70。首先计算t统计量，然后与t分布的临界值比较，以确定是否拒绝原假设。 8. **χ²检验**：孟德尔的遗传学说与观察数据的符合程度可以用χ²检验来检验，这里计算χ²统计量并与临界值比较。 9. **线性回归**：数据集中的两个变量x和y可能存在线性关系。问题（1）是求经验回归方程，即最小二乘法估计的线性回归方程y = β0 + β1x + ε。问题（2）要求预测区间，可以使用回归方程和t分布的临界值来构建。 这些知识点涵盖了概率论的基本概念，如随机变量、概率分布、估计理论和假设检验，以及统计推断中的置信区间和假设检验等核心内容。学习这些知识有助于理解和解决实际问题中的随机现象。