基于四轮汽车和差速小车的模型预测控制（MPC）是一类高级控制策略，它通过优化来预测未来一段时间内的系统行为，并给出控制量。在本研究中，我们主要关注的是如何利用MPC来控制四轮汽车和差速小车的运动。
要理解模型预测控制，需要对运动学模型有所了解。运动学模型主要描述物体在空间中的运动而忽略物体所受的力和力矩。在本研究中，我们关注的是四轮汽车和差速小车的运动学模型。
四轮汽车运动学模型包括了如何描述四轮汽车的运动状态以及如何控制后轮速度和前轮转角。汽车的状态空间是非线性的，因此为了实现模型预测控制，需要将非线性模型线性化，即将非线性函数在目标点附近展开为泰勒级数的线性项。这样，通过模型线性化和离散化，我们得到了可以用矩阵表达形式的状态空间模型，这使得MPC算法得以应用。
在动力学模型中，对系统进行线性化处理是为了使用线性系统理论。在离散化过程中，常用的方法包括使用一阶差分法对动力学模型进行近似，这样便于使用数值方法进行求解。离散化的过程是将时间连续的系统用离散的时间步骤来近似描述。
差速小车的运动学模型和动力学模型与四轮汽车类似，也涉及到非线性状态空间模型的线性化和离散化。差速小车的特点在于其转向方式和驱动方式的不同，它通常只有两个驱动轮，但仍然可以通过差动机制实现转向。
模型预测控制的目的在于让机器人跟踪一条给定的路径。这就要求我们计算机器人预测位姿与路径的偏差，并定义一个目标函数来描述控制效果。在MPC中，目标函数是一个二次函数，包含了预测时域和控制时域的概念。预测时域是指模型预测未来各个时间点的系统行为，而控制时域则是指每个时间点上应用的控制输入。通过优化目标函数，MPC可以计算出一系列控制动作。
在目标函数中，通常会加入权重矩阵Q和R。Q矩阵用于衡量系统状态的偏差，R矩阵用于衡量控制输入的代价。这两个矩阵的选择会对系统性能产生重要影响，因为它们决定了系统在追求最小状态偏差和最小控制输入变化之间的权衡。
通过定义目标函数，并将其转换为可以求解的数学问题，就可以使用二次规划器进行求解。求解得到的最优控制序列可以使得机器人跟踪路径并保持良好的运动平稳性。
总结来说，模型预测控制（MPC）是一种强大的控制方法，特别适用于处理多变量、有约束的动态系统控制问题。通过将控制问题转化为优化问题，MPC可以预测未来系统的行为，并计算出最优控制策略。在四轮汽车和差速小车的运动控制中，MPC能够有效地实现路径跟踪，同时保持车辆的稳定性和舒适性。线性化和离散化是将复杂的非线性系统适配到MPC框架中的关键步骤，而选择合适的权重矩阵Q和R则对控制性能至关重要。通过优化方法求解目标函数，可以得到一系列控制动作，它们能够使移动机器人实现对给定路径的精确跟踪。
