2019高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目
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A题 高压油管的压力控制
燃油进入和喷出高压油管是许多燃油发动机工作的基础，图1给出了某高压燃油系统的工作原理，燃油经过高压油泵从A处进入高压油管，再由喷口B喷出。燃油进入和喷出的间歇性工作过程会导致高压油管内压力的变化，使得所喷出的燃油量出现偏差，从而影响发动机的工作效率。
图1 高压油管示意图
问题1. 某型号高压油管的内腔长度为500mm，内直径为10mm，供油入口A处小孔的直径为1.4mm，通过单向阀开关控制供油时间的长短，单向阀每打开一次后就要关闭10ms。喷油器每秒工作10次，每次工作时喷油时间为2.4ms，喷油器工作时从喷油嘴B处向外喷油的速率如图2所示。高压油泵在入口A处提供的压力恒为160 MPa，高压油管内的初始压力为100 MPa。如果要将高压油管内的压力尽可能稳定在100 MPa左右，如何设置单向阀每次开启的时长？如果要将高压油管内的压力从100 MPa增加到150 MPa，且分别经过约2 s、5 s和10 s的调整过程后稳定在150 MPa，单向阀开启的时长应如何调整？
图2 喷油速率示意图
问题2. 在实际工作过程中，高压油管A处的燃油来自高压油泵的柱塞腔出口，喷油由喷油嘴的针阀控制。高压油泵柱塞的压油过程如图3所示，凸轮驱动柱塞上下运动，凸轮边缘曲线与角度的关系见附件1。柱塞向上运动时压缩柱塞腔内的燃油，当柱塞腔内的压力大于高压油管内的压力时，柱塞腔与高压油管连接的单向阀开启，燃油进入高压油管内。柱塞腔内直径为5mm，柱塞运动到上止点位置时，柱塞腔残余容积为20mm3。柱塞运动到下止点时，低压燃油会充满柱塞腔（包括残余容积），低压燃油的压力为0.5 MPa。喷油器喷嘴结构如图4所示，针阀直径为2.5mm、密封座是半角为9°的圆锥，最下端喷孔的直径为1.4mm。针阀升程为0时，针阀关闭；针阀升程大于0时，针阀开启，燃油向喷孔流动，通过喷孔喷出。在一个喷油周期内针阀升程与时间的关系由附件2给出。在问题1中给出的喷油器工作次数、高压油管尺寸和初始压力下，确定凸轮的角速度，使得高压油管内的压力尽量稳定在100 MPa左右。
图3 高压油管实际工作过程示意图
图4 喷油器喷嘴放大后的示意图
问题3. 在问题2的基础上，再增加一个喷油嘴，每个喷嘴喷油规律相同，喷油和供油策略应如何调整？为了更有效地控制高压油管的压力，现计划在D处安装一个单向减压阀（图5）。单向减压阀出口为直径为1.4mm的圆，打开后高压油管内的燃油可以在压力下回流到外部低压油路中，从而使得高压油管内燃油的压力减小。请给出高压油泵和减压阀的控制方案。
图5 具有减压阀和两个喷油嘴时高压油管示意图
注1. 燃油的压力变化量与密度变化量成正比，比例系数为E/ρ，其中ρ为燃油的密度，当压力为100 MPa时，燃油的密度为0.850 mg/mm3。E为弹性模量，其与压力的关系见附件3。
注2. 进出高压油管的流量为Q=CA√(2ΔP/ρ)，其中Q为单位时间流过小孔的燃油量（mm3/ms），C=0.85为流量系数，A为小孔的面积（mm2），ΔP为小孔两边的压力差（MPa），ρ为高压侧燃油的密度（mg/mm3）。
附件1：凸轮边缘曲线
附件2：针阀运动曲线
附件3：弹性模量与压力的关系
### CUMCM-2019-Problem-A 高压油管的压力控制
#### 背景介绍
本文档来源于2019年全国大学生数学建模竞赛的A题，题目涉及高压油管的压力控制问题。该问题的核心在于研究如何通过调整高压油泵的供油时间和喷油器的工作参数来稳定高压油管内的压力，以及如何进一步优化系统来提高发动机的工作效率。
#### 关键知识点解析
##### 问题1: 单向阀开启时长对高压油管压力的影响
- **目标**: 将高压油管内的压力稳定在100MPa或从100MPa增加到150MPa，并在指定时间内稳定下来。
- **方法**: 通过调整单向阀的开启时长来实现。
- **具体步骤**:
- **计算燃油流量**: 利用公式\(Q = C \cdot A \cdot \sqrt{\frac{2\Delta P}{\rho}}\)计算燃油通过小孔的流量。其中\(C = 0.85\)为流量系数，\(A\)为小孔的面积，\(\Delta P\)为小孔两边的压力差，\(\rho\)为高压侧燃油的密度。
- **分析系统动态**: 确定喷油器的工作频率和喷油时间，结合单向阀的开启和关闭时序，分析系统内的燃油流动情况。
- **模拟不同开启时长**: 通过模拟不同的单向阀开启时长，观察高压油管内压力的变化趋势，找到合适的开启时长，使得压力稳定在目标值附近。
- **调整过程**: 当需要将压力从100MPa增加到150MPa时，根据所需的时间（2s、5s、10s），调整单向阀的开启时长，确保在规定时间内完成压力调整。
##### 问题2: 凸轮角速度与高压油管压力的关联
- **目标**: 在保持高压油管压力在100MPa的情况下，确定凸轮的角速度。
- **方法**:
- **理解工作原理**: 理解高压油泵柱塞的压油过程及其与高压油管之间的关系。
- **利用凸轮边缘曲线**: 分析凸轮边缘曲线与角度的关系，确定柱塞向上运动时的速度和加速度。
- **模拟燃油流动**: 结合喷油器针阀的运动曲线，模拟柱塞腔内的燃油流动情况，分析燃油的压缩过程和释放过程。
- **确定凸轮角速度**: 通过调整凸轮的角速度，找到能够使高压油管内压力稳定在100MPa附近的最佳角速度。
##### 问题3: 多喷油嘴及减压阀的控制系统设计
- **目标**: 在原有系统基础上增加一个喷油嘴和一个单向减压阀，进一步优化高压油管的压力控制。
- **方法**:
- **多喷油嘴的协调控制**: 考虑两个喷油嘴的喷油规律相同的情况，通过调整供油策略，保证高压油管内的压力稳定性。
- **减压阀的作用**: 安装单向减压阀，使其能够在高压油管内压力过高时自动开启，将部分燃油回流至低压油路中，从而降低高压油管内的压力。
- **整体控制方案**: 结合高压油泵和减压阀的工作特点，设计一套综合控制系统，以达到更高效地控制高压油管内压力的目的。
#### 总结
通过对上述问题的深入分析，可以得出一系列有效的控制策略和技术方法，用于优化高压油管的压力控制，进而提高燃油发动机的工作效率。这些方法不仅适用于本题目的特定场景，也为解决类似工程问题提供了思路和参考。
