第二章 张量分析初步
第二章 张量分析初步
2.1 指标符号及求和约定
2.1.1 矢量和张量的表示方法
力学中常用的物理量可以分为三类：只有大小而没有方向性的物理量称为标量。例如温
度、密度、时间等；既有大小又有方向性的物理量称为矢量，常用黑体表示，如矢径 、位
移 、速度 等。具有多重方向性的更为复杂的物理量称为张量，也常用黑体表示。例如一点
的应力状态采用应力张量
r
u v
来表示，它是具有二重方向性的二阶张量。
矢量可以在参考坐标系中分解。例如点的位移 在笛卡尔坐标系中分解为 u
11 2 2 33
uu u
ue e e
其中 、 、 是位移的三个分量， 、 、 是沿坐标轴的三个单位基矢量。由此引出矢
量和张量的三种记法：
1
u
2
u
3
u
1
e
2
e
3
e
实体记法 把矢量或张量的整个物理实体用一个黑体字母表示。
分解记法 同时写出矢量或张量的分量及其相应的基矢量或基张量。例如，位移矢量表示
为 ；应力张量表示为
11 2 2 33
uu u ue e e
x
x x x xy x y xz x z yx y x yy y y yz y z zx z x zy z y zz z z
ee ee ee ee ee ee ee ee ee
数组记法 把矢量或张量的全部分量用一个有序的数组来表示。例如，位移矢量用数组记
法表示为 ；应力张量用数组记法表示为
123
(, , )uuu
x
xy xz
yx y yz
zx zy z
2.1.2 指标符号与求和约定
下面详细讨论后两种记法中广泛采用的指标符号
张量分析中为了便于标记及公式推导，通常对一组性质相关的量使用一个带指标的符号
表示，这一符号称为指标符号。例如，一点的三个坐标
x
、
y
、 可表示为z
1
x
、
2
x
、
3
x
，用
指标符号简记为 ；直线的三个方向余弦可写成
l 、 m 、 n ，简记为 li ；九
个应力分量
(1
,2,3
i
xi
,,,
)
)
)
(1 ,2,3
i
( ,,,,,
x
xxyxzyxyyyzzxzyzz
，简记为 (,ij 1,2,3)
ij
等。若一个指标符号
有 个下标，每个下标有个 n 值，则该下标符号就代表了 个元素。 k
k
n
在数学上为了书写方便在求和表达式中采用求和记号，例如
3
11 2 2 33
1
ii
i
Saxax ax ax
(2-1)
进一步地可以引进爱因斯坦求和约定：若表达式的某一项中某个指标重复出现两次，则
表示对该指标在取值范围内进行遍历求和；重复出现的指标称为哑指标，简称哑标。用哑标
代替求和符号，式(2-1)写为
1
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梦若
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