《张量分析 》简明教程

张量分析是现代物理学中一个重要的数学工具，尤其在理论物理领域扮演着关键角色。自1915年爱因斯坦发表广义相对论以来，张量分析的重要性日益凸显，它不仅推动了相对论和场论的发展，也促进了连续介质力学的进步。连续介质力学是研究连续介质（如流体和固体）的力学行为的科学，而张量分析为描述这些介质的应力、应变等物理量提供了必不可少的数学基础。 在张量分析中，矢量和张量是两个核心概念。矢量是具有大小和方向的量，可以用来表示物理世界中的力、速度等。在三维空间中，任意矢量可以分解为三个单位矢量的线性组合，这些单位矢量通常用字母i、j、k表示，它们分别沿着笛卡儿坐标系的x、y、z轴。矢量间的运算包括点积和叉积。点积（又称内积或标量积）描述了两个矢量之间的对称性和大小关系，而叉积（又称向量积）则产生一个垂直于原来两个矢量所在平面的新矢量，它在描述物体的角动量、力矩等物理量时非常有用。 张量是矢量概念的推广，可以看作是多维数组，它描述了多维空间中的物理量。在物理学中，张量不仅可以描述力学性质（如应力、应变），还可以描述电磁场等。张量分析涉及对张量的各种运算，包括张量的加法、乘法、求导和积分等。 本书《张量分析 简明教程》旨在为学习连续介质力学等领域的学生提供必要的数学准备。书中重点讨论了三维欧氏空间中的张量分析，参考了多部经典著作。张量分析的一些基本概念和公式，如点积、叉积和混合积等，是学习此课程的先决条件。点积的分配律和叉积的反号性质是理解这些运算的基础。而混合积的概念在三维空间中显得尤为重要，它代表由三个矢量构成的平行六面体的体积。 书中还讨论了斜角直线坐标系中矢量的分量表示。在这种坐标系下，两个夹角不为90度的坐标轴构成的系统中，矢量可以分解为沿这两个轴方向的分量的和。这种表示方法利用了爱因斯坦求和约定，即当一个指标在上下位置各出现一次时，意味着对该指标从1到3（或根据实际情况，从1到n）求和，从而简化了表达式。 张量分析的应用范围广泛，它与微分几何学的一些分支相辅相成，共同推动了连续介质力学的发展。连续介质力学是材料科学、土木工程、生物力学等领域不可或缺的工具。因此，学习和掌握张量分析对于理科学生，特别是物理学、力学和工程学专业的学生来说，是极其重要的。 总结来说，张量分析是物理学，尤其是相对论、场论和连续介质力学等领域不可或缺的数学语言。它不仅帮助科学家和工程师精确描述物理现象，而且也是深入理解现代物理理论的基础。随着科学技术的发展，张量分析在数学建模、计算机仿真等领域的重要性日益增加，成为理工科学生和科研人员必须掌握的工具。