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弹性力学数值方法：混合元法：混合元法的离散化过程

1 弹性力学数值方法：混合元法：绪论

1.1 混合元法的历史背景

混合元法（Mixed Finite Element Method）作为有限元法的一种，其历史可

以追溯到 20 世纪 60 年代。最初，混合元法被用于解决流体力学中的问题，如

Stokes 方程和 Navier-Stokes 方程。随着理论的发展和计算技术的进步，混合元

法逐渐被应用于更广泛的领域，包括弹性力学、电磁学、热传导等。在弹性力

学中，混合元法通过引入额外的未知量，如应力或位移，来提高数值解的精度

和稳定性。

1.1.1 关键发展节点

� 1965 年：Babuska 和 Brezzi 提出了混合元法的稳定性条件，即著

名的 Babuska-Brezzi 条件，为混合元法的理论基础奠定了基石。

� 1970 年代：混合元法在解决弹性力学问题中的应用开始增多，特

别是在处理不可压缩材料和大变形问题时，显示出了其独特的优势。

� 1980 年代至 1990 年代：随着计算机性能的提升，混合元法的计

算效率问题得到改善，使其在工程实践中更加普及。

� 2000 年代至今：混合元法的理论和应用持续发展，包括高阶元、

非协调元、自适应网格划分等技术的引入，进一步提高了其在复杂问题

求解中的能力。

1.2 混合元法的基本概念

混合元法的核心在于将原始的偏微分方程分解为一组耦合的方程，通过引

入额外的未知量来改善数值解的性质。在弹性力学中，通常的未知量是位移，

但在混合元法中，可以同时考虑位移和应力作为未知量，从而更直接地满足平

衡条件和应力边界条件。

1.2.1 基本原理

混合元法的基本原理可以概括为以下几点：

1. 变分原理：混合元法基于变分原理，通过最小化能量泛函来求解

问题。

2. 混合形式：将原始方程转换为混合形式，即包含位移和应力的方

程组。

3. 离散化：使用有限元方法对混合形式的方程进行离散化，将连续

问题转化为离散问题。

4. 求解：通过求解离散化后的方程组，得到位移和应力的数值解。

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