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弹性力学数值方法：有限差分法(FDM)：二维弹性问题的有
限差分法
1 绪论
1.1 有限差分法在弹性力学中的应用
有限差分法（Finite Difference Method, FDM）是一种广泛应用于求解偏微
分方程数值解的方法，尤其在弹性力学领域，它被用来模拟和分析材料在各种
载荷下的变形和应力分布。在二维弹性问题中，FDM 通过将连续的弹性体离散
成网格，用差分近似代替微分，从而将偏微分方程转化为代数方程组，便于计
算机求解。
1.1.1 原理
在二维弹性问题中，我们通常处理的是平面应力或平面应变问题。对于平
面应力问题，假设材料在厚度方向上不受约束，应力和应变只在平面内变化；
对于平面应变问题，假设材料在厚度方向上不变形，应变和应力在平面内变化。
这两种情况下，弹性力学的基本方程可以简化为二维形式。
1.1.1.1 差分近似
考虑一个二维弹性体，其应力应变关系由胡克定律描述，即：
σ
=
E
ε
其中，
σ
是应力，
ε
是应变，
E
是弹性模量。在平面应力或平面应变问题中，
我们主要关注
x
和
y
方向的应力和应变。通过将弹性体离散成网格，每个网格点
上的应力和应变可以通过差分公式近似：
∂
σ
x
∂
x
≈
σ
x
(
i
+
1
,
j
)
−
σ
x
(
i
−
1
,
j
)
2
Δ
x
∂
σ
y
∂
y
≈
σ
y
(
i
,
j
+
1
)
−
σ
y
(
i
,
j
−
1
)
2
Δ
y
这里，
(
i
,
j
)
表示网格点的位置，
Δ
x
和
Δ
y
是网格的大小。
1.1.1.2 数值求解
将差分近似代入弹性力学的平衡方程和本构方程中，可以得到一组关于网
格点上应力和应变的代数方程。通过迭代求解这些方程，可以得到整个弹性体
的应力和应变分布。
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