1
弹性力学基础：位移函数：三维弹性问题的位移解法
1 弹性力学基础概念
1.1 弹性体与弹性常数
在弹性力学中，弹性体指的是在受到外力作用时能够产生变形，而在外力
去除后能够恢复原状的物体。这种恢复原状的能力是由于弹性体内部的分子或
原子间存在相互作用力，使得物体在变形后能够产生恢复力，从而回到初始状
态。弹性体的性质可以通过弹性常数来描述，其中最重要的是杨氏模量（Young’
s modulus）和泊松比（Poisson’s ratio）。杨氏模量表示材料在弹性范围内抵抗
拉伸或压缩变形的能力，而泊松比则描述了材料在拉伸或压缩时横向变形与纵
向变形的比例关系。
1.2 应力与应变的关系
1.2.1 应力
应力（Stress）是单位面积上的内力，它描述了材料内部各部分之间相互作
用的强度。在三维弹性问题中，应力可以分为正应力（Normal Stress）和剪应
力（Shear Stress）。正应力是垂直于材料表面的应力，而剪应力则是平行于材料
表面的应力。应力张量是一个 3x3 的矩阵，用于完全描述材料内部任意点的应
力状态。
1.2.2 应变
应变（Strain）是材料变形的度量，它描述了材料在受力作用下形状和尺寸
的变化。应变可以分为线应变（Linear Strain）和剪应变（Shear Strain）。线应变
是材料长度变化与原长的比值，而剪应变则是材料在剪切力作用下角度的改变。
应变张量同样是一个 3x3 的矩阵，用于描述材料内部任意点的应变状态。
1.2.3 应力应变关系
在弹性范围内，应力与应变之间存在线性关系，这一关系由胡克定律
（Hooke’s Law）描述。对于各向同性材料，胡克定律可以表示为：
σ
i
j
=
C
i
j
k
l
ε
k
l
其中，
σ
i
j
是应力张量，
ε
k
l
是应变张量，
C
i
j
k
l
是弹性常数矩阵。在简化的情况
下，对于线性弹性材料，应力应变关系可以进一步简化为：
σ
=
E
ε
这里，
E
是杨氏模量，
σ
和
ε
分别表示正应力和线应变。
剩余17页未读，继续阅读
资源评论
