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材料力学之应变分析算法：应变能密度计算：弹性力学理
论
1 材料力学之应变分析算法：应变能密度计算
1.1 绪论
1.1.1 应变与应力的基本概念
在材料力学中，应变（Strain）和应力（Stress）是描述材料在受力作用下
变形和内部力分布的两个基本物理量。应变是材料变形的度量，通常定义为材
料在受力作用下长度变化与原始长度的比值。应力则是单位面积上的内力，它
反映了材料内部的力分布情况。
� 线应变（Linear Strain）：表示材料在某一方向上的长度变化，通
常用ε表示。
� 切应变（Shear Strain）：表示材料在某一平面上的剪切变形，通常
用γ表示。
� 正应力（Normal Stress）：垂直于材料表面的应力，用σ表示。
� 切应力（Shear Stress）：平行于材料表面的应力，用τ表示。
1.1.2 弹性力学的数学描述
弹性力学研究材料在弹性范围内受力后的变形和应力分布。在弹性力学中，
材料的变形与应力之间遵循胡克定律（Hooke’s Law），即应力与应变成正比关
系。数学上，这一关系可以表示为：
σ
=
E
ε
其中，σ是应力，ε是应变，E 是材料的弹性模量（Young’s Modulus），
它是一个材料属性，反映了材料抵抗弹性变形的能力。
对于复杂的三维问题，应变和应力的关系可以通过广义胡克定律
（Generalized Hooke’s Law）来描述，这通常涉及到弹性矩阵（Elasticity Matrix）
和应变矩阵（Strain Matrix）的概念。
1.1.3 应变能密度的物理意义
应变能密度（Strain Energy Density）是单位体积内材料因变形而储存的能
量。它是一个重要的物理量，用于分析材料在受力作用下的能量变化，特别是
在弹性范围内。应变能密度的计算对于理解材料的力学行为、预测材料的疲劳
寿命以及优化结构设计等方面具有重要意义。
应变能密度 W 可以通过应变能 U 和材料体积 V 的比值来计算：
W
=
U
V
在弹性范围内，对于线性弹性材料，应变能密度也可以通过应变和应力的
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