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材料力学之应力分析算法:有限元法(FEM):动态应力分析的FEM技术.docx
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材料力学之应力分析算法:有限元法(FEM):动态应力分
析的 FEM 技术
1 材料力学之应力分析算法:有限元法(FEM):动态应力
分析的 FEM 技术
1.1 绪论
1.1.1 有限元法的历史与发展
有限元法(Finite Element Method, FEM)作为一种数值分析方法,其历史
可以追溯到 20 世纪 40 年代末。最初,它是由航空工程师们在解决飞机结构的
复杂应力分析问题时发展起来的。1943 年,R. Courant 在一篇论文中提出了使
用三角形区域来逼近复杂形状的结构,这被认为是有限元法的雏形。然而,直
到 1956 年,O.C. Zienkiewicz 和 Y.K. Cheung 在《工程计算中的有限元法》一文
中,才正式将这种方法命名为“有限元法”。
随着计算机技术的飞速发展,有限元法在 60 年代得到了广泛应用,特别是
在航空航天、汽车、土木工程等领域。它能够处理复杂的几何形状、材料性质
和边界条件,使得工程师们能够对结构进行更精确的分析和设计。进入 21 世纪,
有限元法不仅在工程领域,还在生物医学、环境科学等跨学科研究中发挥着重
要作用。
1.1.2 动态应力分析的重要性
动态应力分析是有限元法的一个重要应用领域,它关注的是结构在动态载
荷作用下的响应。与静态分析不同,动态分析考虑了时间因素,包括惯性力、
阻尼力和外部动态载荷的影响。这对于预测结构在地震、爆炸、高速运动等极
端条件下的行为至关重要。
例如,在汽车设计中,动态应力分析用于评估车辆在碰撞时的结构安全性
和乘员保护。在航空航天领域,它用于预测飞机在飞行过程中的振动和稳定性。
在土木工程中,动态应力分析帮助工程师设计能够抵御地震的建筑结构。通过
动态应力分析,工程师可以优化设计,减少材料使用,同时确保结构的安全性
和可靠性。
1.2 有限元法在动态应力分析中的应用
1.2.1 基本原理
动态应力分析基于牛顿第二定律,即力等于质量乘以加速度。在有限元法
中,结构被离散成多个小的单元,每个单元的运动方程可以表示为:
2
M
u
+
C
u
+
K
u
=
F
(
t
)
其中,
M
是质量矩阵,
C
是阻尼矩阵,
K
是刚度矩阵,
u
、
u
和
u
分别表示加速
度、速度和位移向量,
F
(
t
)
是随时间变化的外力向量。
1.2.2 数值求解方法
动态应力分析中,常用的数值求解方法包括直接积分法和模态分析法。直
接积分法通过时间步长逐步求解运动方程,而模态分析法则先求解结构的固有
频率和模态,再通过模态叠加来求解动态响应。
1.2.2.1 直接积分法示例
直接积分法中,常用的有 Newmark 方法。下面是一个使用 Python 实现的
Newmark 方法的简化示例,用于求解一个单自由度系统的动态响应:
import numpy as np
#
定义参数
mass = 1.0 #
质量
stiffness = 10.0 #
刚度
damping = 0.2 #
阻尼
time_step = 0.01 #
时间步长
total_time = 1.0 #
总时间
gamma = 0.5 # Newmark
参数
beta = 0.25 # Newmark
参数
#
初始化
time = np.arange(0, total_time + time_step, time_step)
displacement = np.zeros_like(time)
velocity = np.zeros_like(time)
acceleration = np.zeros_like(time)
#
外力函数
def force(t):
return np.sin(2 * np.pi * t)
# Newmark
方法
for i in range(1, len(time)):
t = time[i]
dt = time_step
F = force(t)
#
更新加速度、速度和位移
acceleration[i] = (F - damping * velocity[i-1] - stiffness * displacement[i-1]) / mass
velocity[i] = velocity[i-1] + dt * (1 - gamma) * acceleration[i-1] + dt * gamma * acceleration[i]
3
displacement[i] = displacement[i-1] + dt * velocity[i-1] + dt**2 * (0.5 - beta) * acceleration[i-1]
+ dt**2 * beta * acceleration[i]
#
输出结果
print("Time:", time)
print("Displacement:", displacement)
print("Velocity:", velocity)
print("Acceleration:", acceleration)
在这个示例中,我们定义了一个单自由度系统的质量、刚度和阻尼参数,
并使用 Newmark 方法求解了在正弦外力作用下的动态响应。通过逐步更新加速
度、速度和位移,我们可以得到系统在不同时间点的响应。
1.2.2.2 模态分析法示例
模态分析法首先求解结构的固有频率和模态,然后通过模态叠加来求解动
态响应。下面是一个使用 Python 实现的模态分析法的简化示例,用于求解一个
二自由度系统的动态响应:
import numpy as np
#
定义参数
mass = np.array([[1.0, 0.0], [0.0, 1.0]]) #
质量矩阵
stiffness = np.array([[10.0, -2.0], [-2.0, 10.0]]) #
刚度矩阵
damping = np.array([[0.2, 0.0], [0.0, 0.2]]) #
阻尼矩阵
time_step = 0.01 #
时间步长
total_time = 1.0 #
总时间
time = np.arange(0, total_time + time_step, time_step)
#
求解固有频率和模态
eigenvalues, eigenvectors = np.linalg.eig(np.linalg.inv(mass) @ stiffness)
omega = np.sqrt(eigenvalues) #
固有频率
phi = eigenvectors #
模态
#
外力函数
def force(t):
return np.array([np.sin(2 * np.pi * t), 0.0])
#
模态叠加求解动态响应
displacement = np.zeros((2, len(time)))
for i in range(len(time)):
t = time[i]
F = force(t)
#
求解模态响应
modal_response = np.linalg.solve(omega**2 * mass + damping + stiffness, phi.T @ F)
4
#
模态叠加
displacement[:, i] = phi @ modal_response
#
输出结果
print("Time:", time)
print("Displacement:", displacement)
在这个示例中,我们定义了一个二自由度系统的质量、刚度和阻尼矩阵,
并使用模态分析法求解了在正弦外力作用下的动态响应。通过求解固有频率和
模态,然后对每个模态的响应进行求解和叠加,我们可以得到系统在不同时间
点的响应。
1.3 结论
有限元法在动态应力分析中的应用,不仅限于上述示例中的简单系统。在
实际工程问题中,结构可能包含成千上万个自由度,需要使用更复杂的有限元
软件来求解。然而,无论是直接积分法还是模态分析法,其核心原理都是基于
牛顿第二定律和结构动力学的基本方程。通过掌握这些基本原理和方法,工程
师可以更有效地分析和设计动态载荷下的结构。
2 材料力学之应力分析算法:有限元法(FEM)
2.1 有限元法基础
2.1.1 基本概念与原理
有限元法(Finite Element Method, FEM)是一种数值计算方法,广泛应用
于工程和科学领域,特别是材料力学中的应力分析。它将复杂的连续体结构分
解为有限数量的简单单元,即“有限元”,通过在每个单元上应用近似函数来描
述物理量的变化,从而将连续问题转化为离散问题。这种方法能够处理具有复
杂几何形状、材料特性和载荷分布的结构,提供结构在不同条件下的应力、应
变和位移的详细信息。
2.1.1.1 原理概述
� 变分原理:有限元法基于能量原理,如最小势能原理或哈密顿原
理,将结构的平衡状态转化为能量泛函的极值问题。
� 加权残值法:通过选择适当的加权函数,将微分方程的残差最小
化,从而得到近似解。
� 分片插值:在每个单元内,物理量(如位移)通过插值函数表示,
这些函数通常为多项式,能够近似单元内的实际变化。
5
2.1.2 离散化过程详解
离散化是有限元法的核心步骤,它将连续的结构模型转化为一系列离散的
单元和节点,以便进行数值计算。
2.1.2.1 几何离散化
� 网格划分:首先,将结构划分为多个小的、形状规则的单元,如
三角形、四边形、六面体等。单元的大小和形状取决于结构的复杂性和
所需的精度。
� 节点定义:每个单元的边界上定义有节点,节点是单元之间的连
接点,也是计算物理量(如位移、应力)的点。
2.1.2.2 物理量离散化
� 位移插值:在每个单元内,位移通过节点位移和插值函数表示。
例如,对于一个线性单元,位移可以表示为节点位移的线性组合。
� 应力和应变计算:通过位移插值函数,可以计算出每个单元内的
应变分布,进而通过材料的本构关系(如胡克定律)计算出应力分布。
2.1.2.3 数值求解
� 建立方程组:将所有单元的局部方程组组合成一个全局方程组,
通常形式为
K
u
=
F
,其中
K
是刚度矩阵,
u
是位移向量,
F
是外力向量。
� 求解方程组:使用数值方法(如直接求解法或迭代法)求解上述
方程组,得到节点位移,进而可以计算出整个结构的应力和应变分布。
2.1.2.4 示例:使用 Python 进行简单有限元分析
import numpy as np
#
定义单元刚度矩阵
def element_stiffness_matrix(E, A, L):
"""
计算单个单元的刚度矩阵。
参数
:
E:
材料的弹性模量
A:
单元的截面积
L:
单元的长度
"""
k = E * A / L * np.array([[1, -1], [-1, 1]])
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kkchenjj
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