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人工智能和机器学习之分类算法：支持向量机（SVM）：线性可分SVM详解.docx

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人工智能和机器学习之分类算法：支持向量机（SVM）：线性可分SVM详解.docx

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人工智能和机器学习之分类算法：支持向量机（SVM）：线

性可分 SVM 详解

1 支持向量机基础

1.1 1 什么是支持向量机

支持向量机（Support Vector Machine, SVM）是一种监督学习模型，主要用

于分类和回归分析。SVM 的基本思想是找到一个超平面，使得两类样本在该超

平面上的投影间隔最大化。这个超平面被称为最大间隔超平面，而位于间隔边

界上的样本点被称为支持向量。

1.2 2 SVM 的目标与原理

SVM 的目标是最大化分类间隔，即找到一个决策边界，使得正负样本到该

边界的距离尽可能大。原理上，SVM 通过构建一个最优分类超平面来实现这一

目标，该超平面不仅能够正确分类训练数据，而且具有最大的分类间隔，从而

提高模型的泛化能力。

1.2.1 示例代码：使用 Python 的 scikit-learn 库实现 SVM 分类

导入必要的库

from sklearn import datasets

from sklearn.model_selection import train_test_split

from sklearn.preprocessing import StandardScaler

from sklearn.svm import SVC

from sklearn.metrics import accuracy_score

加载数据集

iris = datasets.load_iris()

X = iris.data[:, [2, 3]] #

只使用花瓣长度和宽度作为特征

y = iris.target

划分训练集和测试集

X_train, X_test, y_train, y_test = train_test_split(X, y, test_size=0.3, random_state=1, stratify=y)

数据预处理

sc = StandardScaler()

sc.fit(X_train)

X_train_std = sc.transform(X_train)

X_test_std = sc.transform(X_test)

创建

SVM

分类器

svm = SVC(kernel='linear', C=1.0, random_state=1)

svm.fit(X_train_std, y_train)

预测

y_pred = svm.predict(X_test_std)

计算准确率

print('Accuracy: %.2f' % accuracy_score(y_test, y_pred))

1.3 3 最大间隔分类器概念

最大间隔分类器是 SVM 的核心概念。在二维空间中，这个间隔可以被理解

为分类边界到最近的正负样本点的距离之和。在高维空间中，间隔是超平面到

最近样本点的欧几里得距离的两倍。SVM 通过优化一个凸二次规划问题来找到

这个最大间隔超平面。

1.3.1 示例代码：可视化 SVM 的决策边界

import numpy as np

import matplotlib.pyplot as plt

创建数据点

X = np.array([[3, 3], [4, 3], [1, 1]])

y = np.array([1, 1, -1])

训练

SVM

clf = SVC(kernel='linear', C=1000)

clf.fit(X, y)

绘制决策边界

def plot_decision_boundary(clf, X, y):

plt.scatter(X[:, 0], X[:, 1], c=y, s=30, cmap=plt.cm.Paired)

画出决策边界

ax = plt.gca()

xlim = ax.get_xlim()

ylim = ax.get_ylim()

创建网格来评估模型

xx = np.linspace(xlim[0], xlim[1], 30)

yy = np.linspace(ylim[0], ylim[1], 30)

YY, XX = np.meshgrid(yy, xx)

xy = np.vstack([XX.ravel(), YY.ravel()]).T

Z = clf.decision_function(xy).reshape(XX.shape)

画出决策边界

ax.contour(XX, YY, Z, colors='k', levels=[-1, 0, 1], alpha=0.5,

linestyles=['--', '-', '--'])

ax.scatter(clf.support_vectors_[:, 0], clf.support_vectors_[:, 1],

s=100, linewidth=1, facecolors='none', edgecolors='k')

plt.show()

plot_decision_boundary(clf, X, y)

1.4 4 支持向量的定义

支持向量是那些最接近决策边界的样本点，它们决定了分类间隔的大小。

在 SVM 中，只有支持向量对模型的构建有直接影响，其余的样本点对模型的最

终决策边界没有贡献。因此，SVM 是一种稀疏模型，其复杂度主要由支持向量

的数量决定，而不是由样本点的总数决定。

1.4.1 示例代码：识别支持向量

使用之前的

SVM

分类器

print('Support vectors:')

print(clf.support_vectors_)

通过上述代码，我们可以看到 SVM 模型训练后识别出的支持向量，这些点

是决定分类间隔的关键样本点。

2 线性可分 SVM 数学模型

2.1 1 线性可分 SVM 的数学形式

在讨论支持向量机（SVM）时，我们首先关注线性可分的情况。假设我们

有一组数据点，每个点都可以用一个向量

表示，并且每个点都有一个类别标

签

，其中

∈

{

−

}

。我们的目标是找到一个超平面，能够将不同类别的数

据点完全分开。

2.1.1 目标函数

SVM 寻找的超平面由以下方程定义：

⋅

其中，

是权重向量，

是偏置项。对于线性可分 SVM，我们希望找到的

超平面能够最大化两类数据点之间的间隔。这个间隔被称为“最大间隔”，它由

以下公式给出：

因此，我们的目标函数可以表示为最小化

，同时满足以下约束条件：

(

⋅

)

≥

∀

2.1.2 约束条件

约束条件确保了所有数据点都在决策边界的一侧，并且与决策边界保持至

少单位距离。这保证了分类的准确性。

2.2 2 拉格朗日乘子法引入

直接求解上述优化问题可能较为复杂，因此我们引入拉格朗日乘子法来转

换问题。拉格朗日函数定义为：

(

)

−

[

(

⋅

)

−

]

其中，

是拉格朗日乘子，

是数据点的数量。我们的目标是最大化

关

于

，同时最小化关于

和

。

2.2.1 KKT 条件

通过拉格朗日乘子法，我们应用 KKT 条件来求解优化问题。KKT 条件包括：

1. Primal Feasibility（原问题可行性）：满足原始的约束条件。

2. Dual Feasibility（对偶问题可行性）：

≥

。

3. Complementary Slackness（互补松弛性）：

[

(

⋅

)

−

]

。

4. Stationarity（驻点性）：

∇

。

2.3 3 对偶问题的求解

原问题的对偶问题是最大化以下函数：

(

)

−

(

⋅

)

同时满足

≥

和

∑

。通过求解对偶问题，我们可以得到

的值，

进而计算出

和

。

2.3.1 示例代码

下面是一个使用 Python 和 scikit-learn 库实现线性可分 SVM 的示例：

导入必要的库

from sklearn import svm

from sklearn.datasets import make_blobs

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