**卡尔曼滤波及其扩展——EKF**
卡尔曼滤波（Kalman Filter）是一种在噪声环境中对系统状态进行最优估计的算法，广泛应用于导航、控制、信号处理等多个领域。其核心思想是通过数学模型和观测数据，以最小的误差估计出系统状态。然而，对于非线性系统，传统的卡尔曼滤波不再适用，这时候就需要扩展卡尔曼滤波（Extended Kalman Filter, EKF）。
**卡尔曼滤波基础**
1. **状态空间模型**：卡尔曼滤波基于状态空间模型，将系统状态表示为一个向量，通过状态转移矩阵描述状态随时间的变化，通过观测矩阵将状态映射到可观测的测量值。
2. **预测与更新**：滤波过程分为两个步骤：预测（Prediction）和更新（Update）。预测阶段利用上一时刻的估计状态和系统动力学模型来预测当前时刻的状态；更新阶段则结合实际观测值，通过卡尔曼增益调整预测状态，得到更精确的估计。
3. **卡尔曼增益**：卡尔曼增益是滤波器的关键参数，它平衡了系统状态的预测和实际观测的权重，确保了估计的最优性。
4. **协方差矩阵**：协方差矩阵反映了估计误差的统计特性，包括过程噪声和观测噪声的协方差，用于计算卡尔曼增益。
**扩展卡尔曼滤波（EKF）**
1. **非线性处理**：EKF是对卡尔曼滤波的扩展，适用于非线性系统。它通过泰勒级数展开将非线性函数近似为线性，从而保留了卡尔曼滤波的框架。
2. **雅可比矩阵**：EKF的关键在于计算非线性函数的雅可比矩阵，用于近似线性化。雅可比矩阵描述了非线性函数局部线性的变化率，是EKF线性化的基础。
3. **预测和更新步骤**：EKF预测阶段使用非线性函数的线性化形式，更新阶段同样采用线性化后的观测模型。这使得EKF能在一定程度上处理非线性问题，但可能会引入线性化误差。
4. **局限性**：尽管EKF在许多应用中表现良好，但它对非线性的处理并不完美，特别是当非线性很强时，线性化误差可能导致性能下降。此外，EKF计算量较大，对系统动态模型和噪声模型的要求较高。
**MATLAB实现**
MATLAB作为一种强大的数值计算和可视化工具，常用于实现各种滤波算法，包括卡尔曼滤波和扩展卡尔曼滤波。使用MATLAB编写EKF代码，可以方便地构建系统模型，计算雅可比矩阵，进行滤波迭代，从而实现非线性系统的状态估计。
"卡尔曼_EKF代码_卡尔曼滤波_扩展卡尔曼_卡曼尔滤波_"这一主题涵盖了从基本的卡尔曼滤波理论到应对非线性问题的EKF算法，以及使用MATLAB进行实现的实践方法。了解并掌握这些知识，将有助于解决实际工程中的滤波问题。
