知乎-FrancisQu
坐标变换
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FrancisQu
2011-6
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目录
1. 坐标变换的性质及约束条件........................................................................................................2
1.1 功率不变约束.......................................................................................................................3
1.2 合成磁动势不变约束...........................................................................................................3
2. 三相-两相变换(3/2 变换)..............................................................................................................3
2.1 Clarke 变换矩阵................................................................................................................... 4
2.2 Clarke 变换的 MATLAN 实现............................................................................................ 5
3. 两相-两相变换(2s/2r 变换)...........................................................................................................7
3.1 Park 变换矩阵.......................................................................................................................8
3.2 Pake 变换的 MATLAN 实现............................................................................................... 8
4. 三相-两相变换(3s/2r 变换).........................................................................................................11
4.1 3s/2r 变换矩阵....................................................................................................................11
4.2 3s/2r 变换的 MATLAB 实现............................................................................................. 11
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坐标变换
1.坐标变换的性质及约束条件
坐标变换是一种线性变换,如无约束,变换就不是唯一的。在电机的系统分
析中,所应用的坐标变换可有两种约束:
(1)功率不变约束,即变换前后功率保持不变。
(2)合成磁动势不变约束,即变换前后合成磁动势保持不变。
1.1 功率不变约束
设在某坐标系统中各绕组的电压和电流向量分别为
T
n21
],u,,u[uu
和
T
21
][
n
iii ,,, i
,在新的坐标系统中电压和电流向量变为
T
21
]'''['
n
uuu ,,, u
和
T
21
]'''['
n
iii ,,, i
。新向量与原向量的坐标变换关系为:
'
'
iCi
uCu
i
u
(1)
由于变换前后功率不变,则
'')'()'(''
T
TTTTT
uCCiuCiCuiuiui
uiui
,从而
ECC
ui
T
(2)
其中 E 为单位矩阵。式(2)就是功率不变约束下坐标变换阵需要满足的关系式。
在一般情况下,电压变换阵与电流变换阵可以取为同一矩阵,即令
CCC
iu
,
则有
1T
CC
(3)
由此可知,在功率不变约束下,当电压向量和电流向量选取相同的变换阵时,
变换阵的转置与其逆矩阵相等,这样的坐标变换属于正交变换。
1.2 合成磁动势不变约束
至于合成磁动势不变约束,因为绕组电流与磁动势成正比,只要把电流的合
成向量分别在新坐标系和原坐标系进行投影,就可以确定新向量与原向量之间的
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坐标变换关系。
2.三相-两相变换(3/2 变换)
三相-两相变换即指在三相静止坐标系 A-B-C 坐标系和两相静止坐标系
βα
坐标系之间的变换,简称 3/2 变换或 Clarke 变换。
2.1 Clarke 变换矩阵
图 1 给出了 A-B-C 坐标系和
βα
坐标系,为方便起见,取 A 轴和
α
轴重合。
设三相绕组每相有效匝数为
3
N
,两相绕组每相有效匝数为
2
N
,各相磁动势为有
效匝数与电流的乘积,其空间矢量均位于有关相的坐标轴上。由于交流磁动势的
大小随时间在变化着,图中磁动势矢量的长度是随意的。
图 1 三相和两相坐标系与绕组磁动势的空间矢量
设磁动势波形是正弦分布的,当三相总磁动势与二相总磁动势相等时,两套
绕组瞬时磁动势在
βα,
轴上的投影都应相等,即
)i(iN
2
3
sin60iNsin60iNiN
)i
2
1
i
2
1
(iNcos60iNcos60iNiNiN
CB3C3B3β2
CBA3C3B3A3α2
(4)
写成矩阵形式,得
C
B
A
2
3
β
2
3
2
3
0
2
1
2
1
1
α
i
i
i
N
N
i
i
(5)
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考虑变换前后总功率不变,在此前提下,匝数比应为
816.0
3
2
2
3
N
N
(6)
从而,
C
B
A
β
2
3
2
3
0
2
1
2
1
1
3
2
α
i
i
i
i
i
(7)
令
2/3
C
表示从三相静止坐标系
A-B-C
坐标系到两相静止坐标系
βα
坐标系的变
换矩阵,则
2
3
2
3
0
2
1
2
1
1
3
2
2/3
C
(8)
令
3/2
C
表示从两相静止坐标系
βα
坐标系到三相静止坐标系
A-B-C
坐标系的变
换矩阵,则
2
3
2
1
2
3
2
1
01
3
2
3/2
C
(9)
按照所采用的条件,电流变换阵也就是电压变换阵,同时还可证明,它们也
是磁链的变换阵。
2.2 Clarke 变换的 MATLAN 实现
在 MATLAB/SIMULINK 环境下,建立 Clarke 变换模块,并封装为一个子系
统,如图(2)所示。
图(2)中的“alphaFun”和“BetaFun”均为 SIMULINK/USER-DEFINED
FUNCTIONS 中的 Fcn 模块,可设定较为复杂的函数表达式。两个函数的设置如
图(3)所示,可实现式(8)所描述的 Clarke 变换。
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