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全国人口

年份

全国人口

1978

9.6259

1996

12.2389

1979

9.7542

1997

12.3626

1980

9.8705

1998

12.4761

1981

10.0072

1999

12.5786

1982

10.1654

2000

12.6743

1983

10.3008

2001

12.7627

1984

10.4357

2002

12.8453

1985

10.5851

2003

12.9227

1986

10.7507

2004

12.9988

1987

10.93

2005

13.0756

1988

11.1026

2006

13.1448

1989

11.2704

2007

13.2129

1990

11.4333

2008

13.2802

1991

11.5823

2009

13.345

1992

11.7171

2010

13.4091

1993

11.8517

2011

13.4735

1994

11.985

2012

13.5404

1995

12.1121

单位：亿

请根据 1978-2012 年的全国人口数据，用 GM(1,1)来预测未来人口数量，能预测 50 年内的数

据吗？100 年呢？为什么？

摘要：

关键字：人口预测、GM(1,1)

一、问题的重述

二、问题的分析

三、模型假设

1、假设本问题所使用的数据均真实有效，具有统计分析价值

2、不考虑战争、灾害、疾病对人口数目的影响；

3、...

4、...

四、符号说明与名词解释

4.1 符号说明

见模型假设。

4.2 名词解释

...

五、模型的建立与求解

5.1 模型建立

在灰色系统理论中，称抽象的逆过程为灰色模型，也称 GM。它是根据关联

度、生成数灰导数，灰微分等观点和一系列数学方法建立起来的连续型的微分方

程。通常 GM 表示为 GM(n,h)。当 n=h=1 时即构成了单变量一阶灰色预测模型。

设原始时间序列为：

(0) (0) (0) (0) (0)

[ (1), (2), (3), , ( )]X x x x x n= L

设

(1)

为

(0)

的一次累加序列：

即：

(1) (0)

(1) (1)

(1) (1) (0)

( ) ( -1) ( ) , 2, ,

x x

x k x k x k k n

= + =

得

(1) (1) (1) (1) (1)

[ (1), (2), (3), , ( )]X x x x x n= L

利用

(1)

计算 GM(1,1)模型参数

、

，令

[ , ]

a a u=

则有

( )

T T

a B B B Y

其中

(1) (1)

( (1) (2)) 1

( (2) (3)) 1

( ( 1) ( )) 1

x x

x n x n

é ù

- +

ê ú

- +

ê ú

- - +

ê ú

ë û

L L

(0) (0) (0)

[ (2), (3), , ( )]

Y x x x n= L

由此获得：

(1) (1)

( 1) ( (1) )

u u

x k x e

a a

+ = - +

于是：

(0) (1) (1)

ˆ ˆ ˆ

( 1) ( 1) ( ) 1x k x k x k+ = + - （）

或

(0) (0)

( 1) - ( (1) )

x k a x e

+ = - （2）

注：（1）式是根据

(0)

和

(1)

的关系的到的

（2）式是利用数学求导还原得到的

至于用哪个，最好看相对误差

5.2 模型求解：

求解得：

阿拉丁.225

2023-11-29

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钱亚锋

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