基于 Matlab 的 ARMA 模型时间序列分析法仿真
ARMA 模型时间序列分析法简称为时序分析法，是一种利用参数模型对有序
随机振动响应数据进行处理，从而进行模态参数识别的方法。参数模型包括 AR
自回归模型、MA 滑动平均模型和 ARMA 自回归滑动平均模型。1969 年 Akaike H
首次利用自回归滑动平均 ARMA 模型进行了白噪声激励下的模态参数识别。
N 个自由度的线性系统激励与响应之间的关系可用高阶微分方程来描述，在
离散时间域内，该微分方程变成由一系列不同时刻的时间序列表示的差分方程，
即 ARMA 时序模型方程：
ktk
N
k
ktk
N
k
fbxa
�
�
�
�
��
�
2
0
2
0
(1)
式(1)表示响应数据序列
t
x
与历史值
kt
x
�
的关系，其中等式的左边称为自回
归差分多项式，即 AR 模型，右边称为滑动平均差分多项式，即 MA 模型。2N 为
自回归模型和滑动均值模型的阶次，
k
a
、
k
b
分别表示待识别的自回归系数和滑
动均值系数，
t
f
表示白噪声激励。当 k＝0 时，设
1
00
�� ba
。
由于 ARMA 过程{
t
x
}具有唯一的平稳解为
iti
i
t
fhx
�
�
�
�
�
0
(2)
式中：
i
h
为脉冲响应函数。
t
x
的相关函数为
][][
00
ktitki
ki
tt
ffEhhxxER
���
�
�
�
�
�
��
��
���
(3)
t
f
是白噪声，故
�
�
�
��
�
���
other
ik
ffE
ktit
0
][
2
��
�
(4)
式中：
2
�
为白噪声方差。
将此结果代人式(3)，即可得
��
�
�
�
�
�
�
ii
i
hhR
0
2
(5)
因为线性系统的脉冲响应函数
i
h
，是脉冲信号
�
，激励该系统时的输出响应，
故由 ARMA 过程定义的表达式为
tktk
N
k
ktk
N
k
bbha ��
�
�
�
�
��
�
2
0
2
0
(6)
利用式(5)和式(6)，可以得出：
lii
i
klik
N
k
i
i
klk
N
k
bhahRa
�
�
�
��
�
�
�
�
�
����
��
0
2
2
00
2
0
��
(7)
对于一个 ARMA 过程，当是大于其阶次 2N 时，参数
k
b
＝0。故当 l>2N 时，式
(7)恒等于零，于是有
NlRaR
klk
N
k
i
2,0
2
0
���
�
�
�
(8)
或写成
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