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雅可比方法
雅可比方法是用来计算实对称矩阵 A 的全部特征值及其相应特征向量的一种变换方法.
在介绍雅可比方法之前,先介绍方法中需要用到的线性代数知识与平面上的旋转变换.
一 预备知识
(1) 如果 n 阶方阵 满足
则称 为正交阵.
(2) 设 是 阶实对称矩阵,则 的特征值都是实数,并且有互相正交的 个特征向
量.
(3) 相似矩阵具有相同的特征值.
(4) 设 是 阶实对称矩阵, 为 阶正交阵,则 也是对称矩阵.
(5) 阶正交矩阵的乘积是正交矩阵.
(6) 设 是 阶实对称矩阵,则必有正交矩阵 ,使
(1)
其中 的对角线元素的是 的 个特征值,正交阵 的第 列是 的对应于特征值 的
特征向量.
由(6)可知,对于任意的 阶实对称矩阵 ,只要能求得一个正交阵 ,使
( 为对角阵),则可得到 A 的全部特征值及其相应的特征向量,这就是雅可
比方法的理论基础.
二 旋转变换
设
为二阶实对称矩阵,即 .因为实对称矩阵与二次型是一一对应的,设 对应的二
次型为
(2)
由解析几何知识知道,方程 表示在 平面上的一条二次曲线.如果将坐
标轴 旋转一个角度 ,使得旋转后的坐标轴 与该二次曲线的主轴重合,
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